(Operador ֎) RESUMEN.
DEFINICIÓN:
Buscando un nuevo operador de matrices de dimensiones 1xN cuyo resultado sea también una matriz 1xN (o vector) que tuviera un elemento neutro, propiedad conmutativa e inversa se encuentran varias posibilidades según sea el valor de N.
Para el caso 2D se encuentra: (A, B) ֎ (a, b) = (Aa+Bb, Ab+Ba)
En neutro sería (1,0) y el inverso, (a, b) ֎ (A, B) = (1, 0) → A=a/(a2-b2), B=-b/(a2-b2)
Para el caso 3D, se encuentran 4 soluciones posibles (ver entrada Nuevos operadores de vectores) de la que se escoge una de ellas que, además, servirá de punto de partida para definiciones de l operador para todos los valores de N:
PROPIEDAD CONMUTATIVA:
Como ya se viera, el operador "֎" definido como se ha hecho en el apartado anterior tiene la propiedad conmutativa: (A, B, C, ..) ֎ (a, b, c, ..) = (a, b, c, ..) ֎ (A, B, C, ..)
ELEMENTO NEUTRO:
Resulta ser (1, 0, 0, ..)
EFECTO ROTACIONAL:
Véase "Números ABC.. Nuevos operadores de vectores (Giros y perpendicular)"
POLINOMIOS:
Se puede definir una potencia de un número ABC como (a, b)2 = (a, b) ֍ (a, b) = (a2+b2, 2ab). En el caso 2D
Propiedad interesante:
De igual manera se demuestra: si (a, b, c, … )n = (p, q, r, …) → (a + b + c + … )n = (p + q + r + …)
Véase "(Operador ֎) Nuevas operadores vectorales (potencias y polinomios)"
FUNCIONES:
Por lo dicho anteriormente si se puede definir una potencia de un número ABC, para una función continua y derivable del mundo real que sea transformable en una serie de Taylor como por ejemplo F(x)=seno(x), se podría generalizar de la forma F(a, b, c, .. ) = seno(a, b, c, .. ) = (A, B, C, ..).
Seno(-0.5, 0.3) = (-0.458.., 0.259..),, Lógicamente seno(-0.5+0.3) = seno(0.2) = -0,198.. (= -0.458.. + 0.259..)
INVERSA:
Lógicamente si existe el neutro, se define como inversa a (a, b, c, ..)-1 = (A, B, C, ..) → (a, b, c, ..) ֎ (A, B, C, ..) = (1, 0, 0, ..)
La forma de calcularla se explica en "Números ABC.. Nuevos operadores de vectores. La inversa".
RAÍCES:
Más compleja resulta la resolución de raíces que puede ser directa con una resolución de ecuaciones de grado 2 o por un método indirecto basado en series de funciones como se explica en "NÚMEROS ABC (Operador ֎) Nuevos operadores de vectores. Raíces"
El dicho apartado se calcularía √(3, 2, 1) = (1.6636..., 0.5891..., 0.1957...)
Obsérvese que √6=2.4485...
CONCLUSIÓN:
Operar con un número ABC es equiparable a operar con un número real normal cambiando la operación "·" por "֎" aunque un poco más tedioso. Faltará ver como se comporta con el cálculo complejo, diferencial,...
