Ampliación a la serie de Fibonacci. Raíces triples ... y más.

Sea la serie recursiva:

f_n = 6·f_n-1  – 12·f_n-2  + 8·f_n-3 

Aplicando nuestro método se buscarán las raíces de:

x³ – 6·x² + 12·x – 8 = 0

Que son:

r_1,2,3 = 2

Si intentamos buscar el término general este no podrá ser:

f_n = A2ⁿ + B2ⁿ+ C2ⁿ

Dejo al lector ver que se trata de otra tontería (como en el artículo anterior)

Aplicando el método inductivo:

f_n = [A(n-1)(n-2)]·rⁿ+[Bn(n-1)]·r^(n-1)+[Cn(n-2)]·r^(n-2)

Dejamos al lector que vea que la siguiente formulación es equivalente: 

f_n = A·rⁿ+Bn·r^(n-1)+Cn(n-1)·r^(n-2)

(Evidentemente los coeficientes A, B y C variarán)

Un nuevo punto de vista:

Está claro que para dos raíces diferentes pero muy cercanas:

r₁ = r ,, r₂ = r + Δr

Implicaría que:

f_n = A·rⁿ +B·(r+Δr)ⁿ

Si Δr→0, está claro que estaríamos jugando con el concepto de derivada:

f_n = A·rⁿ +{B·(r+Δr)ⁿ - B·rⁿ} + B·rⁿ

Y, por lo tanto

f_n = (A+B)·rⁿ +B·nr^(n-1)

Y, si los coeficientes lod determinamos después:

f_n = A·rⁿ +B·nr^(n-1)

Y, si cambiamos B por B·r:

f_n = A·rⁿ +B·nrⁿ

Para raíces triples:

f_n = A·rⁿ +B·nrⁿ+C·n²rⁿ 

Para raíces de grado k:

f_n = ΣA_j·n^jrⁿ . j ∈ [0..k]

En este punto hemos unido las series aritméticas recursivas, los polinomios, sur raíces y la conexión entre raíces dobles, triples etc. con las derivadas.