Investigación de Enmacosa dentro del proyecto "APLICACIÓN DE SENSORES RADAR PARA DETECTAR Y EVALUAR EL ESTADO DEL PAVIMENTO Y LA RED DE TUBERÍAS Y SERVICIOS EN EL SUBSUELO URBANO", cofinanciado por la Xunta de Galicia (2001-2004).
Continúa de: GPR (Geo-radar) Fundamentos teóricos. Leyes de Maxwell. Parámetros electromagnéticos. (I)
Introducción
Introducción
Capítulo 1: FUNDAMENTOS TEÓRICOS
1.1 Leyes de Maxwell
1.2 Parámetros electromagnéticos de un medio
1.2.1 Conductividad (σ)
1.2.2 Permitividad dieléctrica (ε)
1.2.3 Permeabilidad magnética ( μ )
1.3 Propagación de una onda electromagnética
1.4 Parámetros efectivos
1.5 Impedancia de un medio
1.6 Profundidad nominal de penetración (skin depth)
1.7 Reflexión y transmisión de ondas electromagnéticas
1.8 Pérdidas de energía por procesos internos al medio
1.8.1 Dispersión geométrica del frente de ondas
1.8.2 Absorción
1.8.3 Dispersión de la energía (“scattering”)
1.9 Capacidad de penetración. Ecuación radar
1.10 Capacidad de resolución y zona de influencia
Capítulo 2: CARACTERÍSTICAS DE LOS EQUIPOS GPR
2.1 Origen y desarrollo del GPR
2.2 Características de los equipos
2.2.1 Unidad de control
2.2.2 Parámetros de un registro
2.2.3 Antenas
2.2.4 Accesorios
2.2.5 Equipos complementarios
2.4 Equipos del mercado
2.4.1 Equipos de propósito general
2.4.2 Equipos adaptados al estudio de carreteras
2.4.3 Equipos exclusivamente destinados a la detección de tubos y tuberías
2.5 Presentación de resultados
Capítulo 3: DETECCIÓN DE REDES DE SERVICIOS EN ENTORNOS URBANOS
3.1 Consideraciones sobre tipos de servicios, tipos de suelos y antenas utilizadas
3.2 Aparición de eventos hiperbólicos en los registros
3.3 Otros factores relacionados con la naturaleza y tamaño de los reflectores
3.4 Consideraciones sobre la polaridad de la señal recibida
3.5 Determinación de la velocidad de propagación de la onda
3.6 Ejemplos de estudios realizados
Capítulo 4: EVALUACIÓN DE PAVIMENTOS
4.1 Aplicaciones
4.1.1 Medición del espesor del pavimento
4.1.2 Control de calidad en nuevas construcciones
4.1.3 Estudio de daños
4.2 Diseño del remolque
4.2.1 Introducción
4.2.2 Descripción técnica
4.3 Ejemplos de registros obtenidos
Conclusiones
Bibliografía
1.3 PROPAGACIÓN DE UNA ONDA ELECTROMAGNÉTICA
Se pueden aplicar las ecuaciones de Maxwell para tratar de obtener las ecuaciones que rigen la propagación de una onda electromagnética en un medio. Considerando la variación del campo armónica respecto al tiempo por lo tanto dependiente de e iωt , se pueden expresar E y H de la siguiente forma:
Derivando E y H respecto al tiempo,
y calculando los rotacionales de las derivadas
aplicando la siguiente identidad vectorial en coordenadas cartesianas a los campos E y H :
y utilizando los valores de la divergencia de E y de H en las ecuaciones 1.10 y 1.11 se deducen
Por otra parte, aplicando el rotacional a las ecuaciones 1.8 y 1.9 se obtiene
y sustituyendo en 1.31 y 1.32 las ecuaciones 1.29-30 y 1.25-26, se obtienen
Finalmente, si en estas ecuaciones sustituimos los rotacionales de E y H por sus expresiones en las Ecuaciones de Maxwell (1.1-1.4) y teniendo en cuenta las ecuaciones 1.23 y 1.24, se deducen las relaciones:
Llamando γ^2 al término ( iωμ σ − ω^2 μ ε ) se obtienen las dos ecuaciones que rigen el fenómeno de propagación de ondas electromagnéticas en un medio homogéneo e isótropo.
Del análisis de estas ecuaciones se deduce que el factor γ , llamado constante de propagación, tiene unidades de 1/m. Es costumbre definir el factor γ en función de sus componentes real e imaginaria:
siendo α (Np/m) el factor de atenuación y β (rad/m) la constante de fase, verificándose que α = 0 en el vacío.
Para el caso en que se supongan ondas planas polarizadas horizontalmente, con dirección de propagación z positiva hacia el interior del terreno, y eligiendo el eje x en la dirección del vector E , las ecuaciones 1.37 y 1.38 se convierten en:
cuyas soluciones tienen la siguiente forma
siendo ay y ax vectores unitarios en las direcciones “x” e “y”, y θ el desfase que existen entre los campos E y H. Su valor, función de la frecuencia y de los parámetros eléctricos del medio de propagación, se deduce sustituyendo cualquiera de las ecuaciones 1.37 y 1.38 en las primeras del sistema dado por las ecuaciones de Maxwell particularizadas para q = 0 ( 1.8 y 1.9 ) obteniéndose:
Sustituyendo γ = α + i β y teniendo en cuenta que E y H han de tener un valor infinito cuando τ = ∞ , se puede eliminar el signo + de las ecuaciones 1.44 y 1.45:
O también:
Tomando la parte real como solución al problema físico, las ecuaciones 1.49 y
1.50 se convierten en:
donde e^−α z representa el término atenuación y cos (ωt − βz) indica movimiento armónico propagándose en la dirección z con una velocidad v = ω / β y una longitud de onda λ = 2Π / β .
Las expresiones para la velocidad v y la longitud de onda de la señal λ se obtiene sin más que sustituir β por su valor dado en las ecuaciones 1.40 y 1.41:
Sustituyendo los valores de ε = εr ⋅ εo y μ = μr ⋅ μo en la ecuación 1.53, teniendo en cuenta que en el vacío se verifica σ = 0 , εr = 1 y μr = 1, se obtiene la siguiente relación entre c, velocidad de la luz en el vacío, y los parámetros εo y μo :
siendo posible obtener una expresión de las ecuaciones 1.53 y 1.54 en función de c de la siguiente manera:
verificándose entre ellos la relación
En el caso en que σ << ω ε las expresiones de β , v y λ , ecuaciones 1.39, 1.55 y 1.56, se convierten en:
 |
| Figura 1.3. Variación de la velocidad frente a la permitividad dieléctrica relativa. Los puntos de la gráfica son valores experimentales obtenidos para diferentes materiales (Reynolds, 1997). La curva está obtenida a partir de la ecuación 1.60 |
En la figura 1.3 se dibuja la variación de la velocidad de la onda frente a la constante dieléctrica a partir de la relación 1.60, así como diferentes valores puntuales medidos en diversos materiales reales, dada su permitividad dieléctrica característica. (Reynolds, (1997)).
La velocidad más elevada se obtiene para el aire, mientras que el punto que presenta menor velocidad en la gráfica representa al agua. Los materiales del subsuelo están situados entre estos dos valores. La gráfica representa la comparación entre los valores experimentales (tabulados) y la curva obtenida al representar la ecuación 1.60. Se observa que la aproximación que proporciona la ecuación 1.60 se ajusta adecuadamente a los resultados experimentales.
1.4 PARÁMETROS EFECTIVOS
Los parámetros que definen el comportamiento electromagnético de los materiales (permitividad dieléctrica y conductividad) son por lo general complejos. Tanto la parte real de la expresión de la conductividad como la parte imaginaria de la constante dieléctrica compleja producen una corriente en desfase respecto al campo eléctrico, mientras que la parte imaginaria de la conductividad y la parte real de la permitividad dieléctrica provocan una corriente en fase respecto al campo eléctrico.
Las corrientes en fase respecto al campo eléctrico producen una conductividad que se denomina efectiva y que es el valor mesurable de este parámetro (Pérez-Gracia, 2001), mientras que las corrientes en desfase, junto con el efecto de las cargas libres para altas frecuencias, producen un retardo del campo eléctrico. De esta forma se definen los parámetros efectivos. La conductividad efectiva es la suma de los efectos de la componente real de la conductividad compleja y del efecto de la componente imaginaria de la permitividad dieléctrica, que genera un campo eléctrico en fase con el campo externo:
La permitividad efectiva está compuesta en parte por la componente real de la permitividad compleja, y en parte por el efecto de las cargas libres (parte imaginaria de la conductividad compleja), siendo importante el retardo del campo eléctrico debido al efecto de las cargas libres en el caso de altas frecuencias (Carcione, 1996). Este efecto es importante a altas frecuencias y debe tenerse en cuenta cuando se trabaja con unas antenas determinadas: aquellas que emiten en la banda de las microondas (antenas de 1 GHz y frecuencias superiores):
Son estos parámetros los que se pueden medir en experiencias de laboratorio y los que se utilizan para calcular la velocidad de propagación de la onda electromagnética por el medio así como la atenuación de la energía que se produce durante esta propagación.
En los siguientes capítulos, aunque no se mencionen explícitamente los parámetros efectivos, se entiende que son los utilizados para realizar todos los cálculos y para definir el comportamiento de las ondas electromagnéticas en los medios.
Para la mayor parte de medios que se pueden encontrar, la componente de desfase de la conductividad es pequeña. De aquí en adelante, para simplificar, cuando se hable de permitividad dieléctrica y conductividad, a menos que se indique lo contrario se estará haciendo referencia a la permitividad dieléctrica efectiva y a la conductividad efectiva, concretamente a su parte real, ya que es el parámetro que puede medirse experimentalmente. Del mismo modo se hará referencia a la permitividad dieléctrica relativa efectiva como εr, llamándola permitividad dieléctrica relativa.
1.5 IMPEDANCIA DE UN MEDIO
Para cualquier punto del espacio e instante de tiempo, y para una frecuencia determinada, los módulos de los campos eléctrico y magnético de un frente de ondas plano están relacionados mediante un parámetro característico del medio de propagación y de la frecuencia de transmisión que se conoce con el nombre de impedancia η (ohmnios):
Siguiendo un procedimiento análogo al realizado anteriormente para obtener el desfase θ entre los módulos de los campos E y H es inmediato comprobar la siguiente fórmula:
cuyo carácter complejo indica la existencia del desfase entre E y H. En el caso de que el medio se aproxime a un dieléctrico perfecto (σ ≈ 0), no existe desfase (θ ≈ 0) y el valor de la impedancia se puede obtener de la siguiente relación:
verificándose η = 377 Ω en el vacío.
En un caso general se puede expresar el valor de la impedancia, a partir de la ecuación 1.68, de la siguiente manera:
En un caso general se puede expresar el valor de la impedancia, a partir de la ecuación 1.68, de la siguiente manera:
obteniéndose θ a partir de la ecuación 1.46.
Utilizando la ecuación 1.72, las ecuaciones 1.51 y 1.52 de los campos E y H se convierten en:
Utilizando la ecuación 1.72, las ecuaciones 1.51 y 1.52 de los campos E y H se convierten en:
En ellos se observa como la impedancia η , a través de su módulo y fase, relaciona los módulos de los campos E y H en cualquier instante de tiempo t.
En todo este apartado se ha tratado ε como un número real; como vimos, ε tiene una expresión en forma de número complejo cuya parte imaginaria indica el factor de pérdidas dieléctricas y por conducción que sufre la señal al propagarse en un medio.
En los apartados anteriores se ha puesto de manifiesto los parámetros de los que dependen la propagación de ondas electromagnéticas en un medio, o sea: ε,μ,σ y ω.
En las Tablas 1.2-4 se recogen los valores típicos de estos parámetros para algunos de los materiales habitualmente investigados con geo-radar a partir de datos de Morey (1974), Ulriksen (1982), McCann y otros (1988), Davis & Annan (1989), Lorenzo (1994) y Pérez-Gracia (2001).
En todo este apartado se ha tratado ε como un número real; como vimos, ε tiene una expresión en forma de número complejo cuya parte imaginaria indica el factor de pérdidas dieléctricas y por conducción que sufre la señal al propagarse en un medio.
1.6 PROFUNDIDAD NOMINAL DE PENETRACIÓN (skin depth)
En los apartados anteriores se ha puesto de manifiesto los parámetros de los que dependen la propagación de ondas electromagnéticas en un medio, o sea: ε,μ,σ y ω.
En las Tablas 1.2-4 se recogen los valores típicos de estos parámetros para algunos de los materiales habitualmente investigados con geo-radar a partir de datos de Morey (1974), Ulriksen (1982), McCann y otros (1988), Davis & Annan (1989), Lorenzo (1994) y Pérez-Gracia (2001).
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| Tabla 1.2 |
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| Tabla 1.3 |
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| Tabla 1.4 Tablas 1.2, 1.3 y 1.4. Parámetros electromagnéticos aproximados de algunos suelos, rocas y otros materiales de interés para el rango de frecuencias del GPR. |
Una forma de clasificación de los medios se puede realizar a partir de la profundidad nominal de penetración de las ondas en ellos. Se define profundidad nominal de penetración como la distancia a la cual un campo de amplitud inicial 1 V/m ha disminuido hasta e−1 V/m, por lo que, teniendo en cuenta que el campo E se atenúa con el factor e−αz , la profundidad nominal de penetración equivale a 1/α. Se considera que a una distancia equivalente a cinco veces la profundidad nominal de penetración la magnitud del campo puede considerarse cero, aunque a efectos del radar las limitaciones de los equipos receptores impidan detectar las reflexiones producidas desde profundidades muy inferiores a ésta.
Estrictamente hablando, sólo el vacío es un dieléctrico perfecto, pero a efectos prácticos se puede considerar conductividad nula en el aire y muy baja, prácticamente despreciable, en muchos de los materiales de investigación con geo-radar; la profundidad normal de penetración es, teóricamente, ilimitada en los dieléctricos y la atenuación de la señal se produce por restricciones de otro tipo (antenas, etc).
Se consideran buenos conductores, aquellos elementos en los elementos en los que σ >> ωε (cobre, aluminio, etc.), en tal caso resulta difícil hablar de propagación ya para el rango de frecuencias en que opera el radar (10 MHz – 2.5 GHz) las señales se atenúan rápidamente, siendo su profundidad nominal de penetración del orden de 10− 4 − 10−5 m; en realidad, la práctica totalidad de la señal electromagnética que alcanza la superficie de un conductor es reflejada en ésta.
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| Figura 1.4. Profundidad de penetración de la señales GPR en función de la conductividad del suelo. |
En la figura 1.4 se representa la relación entre la profundidad de penetración y la conductividad. La prospección con radar de subsuelo se realiza sobre medios que, a menudo, son mezclas de distintos tipos de materiales. Por separado, cada elemento tiene sus propias características electromagnéticas. Juntos, forman un medio cuya conductividad, permitividad dieléctrica y permeabilidad magnética dependen de cada uno de estos elementos y del porcentaje del mismo en la mezcla. Existen distintos modelos que permiten caracterizar estas mezclas, obteniendo la permitividad efectiva, por ejemplo, del medio en función de los materiales que forman parte del mismo y del porcentaje.
Modelos como los llamados CRIM, SSC o BHS permiten estimar el valor de la permitividad relativa del medio si conocemos los factores de porosidad, contenido de agua y composición (materiales y porcentaje de los mismos).Con estos modelos se observa que, para una misma porosidad y un mismo elemento matriz (sólido), el rango de variación de los parámetros electromagnéticos y de la velocidad de propagación es elevado, tomando como extremos una saturación total (todos los poros llenos con agua) y una saturación cero (todos los poros llenos de aire). Este rango de variación de la velocidad es mayor conforme aumenta la porosidad. Todo esto indica que la porosidad y el fluido que contienen estos poros influyen grandemente en las fluctuaciones que se observan tanto en la permitividad dieléctrica relativa como en la conductividad, considerando unos mismos elementos matriz para los medios. Este comportamiento puede llegar a predecirse utilizando modelos matemáticos, permitiendo realizar clasificaciones de los medios. Los resultados que nos ofrecen estos modelos son bastante similares entre sí, y la selección de uno o de otro de ellos no tiene gran importancia ya que las diferencias que presentan son suficientemente pequeñas para poderlas apreciar experimentalmente con el radar de subsuelo.
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