PI, A fractal of integer numbers? / PI, ¿Un fractal de números enteros?

Un fractal de númros enteros recorriendo una circunferencia. / A fractal of integer numbers walking a circle.

Cuando ante una circunferencia se van colocando los diversos números enteros como si se tratase del ángulo estos van recorriendo la circunferencia sin coincidir. Es obvio, ninguna podrá ser múltipo de PI. Por otro lado no estarán todos los puntos reales, la estructura se repite, siempre será igual de denso. Tenemos pués, un fractal con un número entero de puntos.

When you are placing the various integers walking a circle as if they angles, these are covering the circumference without match. Obviously, none will ever be multiple of PI. On the other hand shall not be all real points, the structure is repeated, always equally thick. We later, a fractal with an integer number of points.

Las coordenadas de cualquier punto será dado por un número entero, por ejemplo, el 32727.

Aproximación de un número real a su situación en la circunferencia. Estirando la circunferencia y ampliando continuamente su forma sería de este estilo:

The coordinates of any point will be given by an integer, eg 32727.

Approximation of a real situation in your circle number. By stretching the circumference and continually expanding its form would be like this:

Si en ligar de PI tenemos raiz(2)= 1,4142135623731 ... El resultado sería éste:
If instead of PI, we have sqrt (2) = 1.4142135623731 ... The result would be this:

La paradoja que se observa es que al igual que en el conjunto de números reales siempre hay un número entero entre dos números enteros dados que siguieran esta sucesión.

Esta cualidad nos va a permitir adentrarnos en el mundo de los fractales en donde hemos podido definir la situación un punto a través de mezclas de números reales y sucesiones de números enteros.

The paradox we see, is that like in the set of real numbers there is always an integer between two given integers follow this sequence.

This quality will allow us to enter the world of fractals where we could define the situation a point through mixtures of sequences of real numbers and integers.

Nota: para crear el gif hemos utilizado el programa GIMP y para la película hemos convertido el fichero gif a avi con el programa ffmpeg con la sintaxis; ffmpeg -i archivo.gif -s  archivo.avi (con windows sería: ffmpeg.exe -i archivo.gif -s archivo.avi)

Note: To create the gif we used the GIMP program and film have become the gif file to avi with ffmpeg program syntax; ffmpeg -i -s archivo.gif file.avi (with windows would be: ffmpeg.exe -i -s archivo.gif file.avi)

Program:

Private Sub Command1_Click()
  Picture1.Cls:Picture1.ScaleWidth = 4
  m = Picture1.ScaleHeight:t = QBColor(15)
  Picture1.FontSize = 6
  r2 = Sqr(2) * 2 '6.28318530717959
  
  For j = 1 To 10000 Step 1
    Picture1.Cls: H = 7.3 - j ^ 0.27: Picture1.ScaleWidth = H
    
    For i = 0 To j
      n = i - Int(i / r2) * r2
      m = Int(i / r2) / j * 5000 + 10
      If n < H Then
        Picture1.Line (n, 0)-(n, m), QBColor(15) - i
        Picture1.ForeColor = QBColor(15) - i
        Picture1.CurrentX = n
        Picture1.CurrentY = m
        Picture1.Print i
          If m < 82 Then
             Picture1.Line (n, 2595)-(n, 2300), QBColor(15) - i
             Picture1.CurrentX = n
             Picture1.CurrentY = 2300
             Picture1.Print Format(n, "0.000")
         End If
     End If
   Next i
   DoEvents
   SavePicture Picture1.Image, "Dibuja\" & Format(j, "00000") & ".BMP"
  Next j
End Sub

Dimensión fractal

Siguiendo con la dimensión fractal y definiendo sus coordenadas relativas lo mejor es empezar con un fractal de dimensión conocida, el fractal de Kock.

Following the study of the fractal dimension and defining their relative coordinates is best to start with a known fractal dimension, fractal de Kock

Para saber más, recomiendo ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake

Si se está interesado eh realizar este dibujo os dejo un programa sencillo para realizarlo:

To learn more, I recommend watching: http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake

If you are interested in making this drawing I leave a simple program to do it:

Dim limi As Integer

---

Private Sub Command1_Click()
Picture1.ScaleHeight = 3
Picture1.ScaleWidth = 3
Picture1.Cls

For limi = 0 To 10
  Dibu 0, 1, 3, 1, 0
  SavePicture Picture1.Image, Trim(limi) & ".bmp"
  DoEvents
Next limi
End Sub

---

Sub Dibu(ByVal a As Single, _
         ByVal b As Single, _
         ByVal c As Single, _
         ByVal d As Single, _
         ByVal prof As Integer)

If prof > limi Then DoEvents: Exit Sub
Picture1.Line (a, b)-(c, d), QBColor(prof + 1)
u = (c - a) / 3:v = (d - b) / 3
p = a + u:q = b + v:r = a + u * 2:s = b + v * 2:pr = r / 2 + p / 2
qs = q / 2 + s / 2
uprqs = r - p:vprqs = s - q
u = -vprqs * 0.866025403784439 + pr:v = uprqs * 0.866025403784439 + qs
Dibu a, b, p, q, prof + 1:Dibu p, q, u, v, prof + 1
Dibu u, v, r, s, prof + 1:Dibu r, s, c, d, prof + 1

End Sub

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De la página web anteriormente mecionada tenemos el valor de la dimensión:

From the above mecionada website have the dimension value:

                                     log 4/log 3 ≈ 1.26186

De las páginas nuestras anteriores podremos definir un punto de la forma:

From our previous pages can define a point of the form:

         OA = {(A₁, A₂, …, A_p), M_A - M_O}

En donde cada valor A será un entero entre 1 y 4 (ó 0 y 3) sin un número real para moverse en el segmento final porque la secuencia anterior es infinita

Where each value to be an integer between 1 and 4 (or 0 and 3) without a real number to move into the final segment, it's because the above sequence is infinite.

En la figura superior: In the upper figure: OA = {(2, 1, 3, 3, ...)}

Cuando se añade un elemento más de la sucesión {0..3} (4 elementos nuevos), se decrementa la longitud en 1/3p. Resulta lógico que la dimensión fractal sea log(elementos nuevos)/log(razón de decremento) = log(4)/log(3) = 1.26186...

When an element of the sequence {0..3} (4 new items) is added, the length is decremented by 

1/3p. It is logical that the fractal dimension is log (new items) / log (ratio decrease) = log (4) / log (3) = 1.26186 ...

En los casos anteriores de las tatispirales / In previous cases of tatispirales:
       OA = {(0 .. ∞, 0 .. ∞, ..., 0 .. ∞_p), 0 ..   max_l_p}. 
   max_l_p = (R₀/4^p)·e^-ksSAi es la longitud del elemento en el último punto de la sucesión del elemento "P". Si . Esto hace más difícil encontrar su dimensión / is the length of the element at the last point of the sequence of "P" element. therefore, it becomes harder to find your size.