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viernes, 23 de febrero de 2018

La función EXIN. De extrínseca a intrínseca. Propiedades

Desarrollo anterior:
Recordemos que dada una función:
fn=wn+P(n)
fn-wfn-1 = P(n)-wP(n-1)

Definiremos la función EXIN

Definiremos la función EXIN o más escuetamente Δ como

Δ(w,P) = P(n)-wP(n-1) = P - wP-

Suma:
Δ(w,P+Q) = Δ(w,P) + Δ(w,Q)
Multiplicación escalar:
Δ(w,k·P) = k·Δ(w,P)
Suma del factor
Δ(v+w,P) = Δ(v,P) + Δ(w,P) - Δ(0,P)
Factor neutro
Δ(0,P) = P
Multiplicación factor
Δ(v·w,P) =v· Δ(w,P) –P·(v-1)
Δ(v·w,P) = v· Δ(w,P) –(v-1)· Δ(0,P)
Exponente de factor
Δ(wm,P+Q) = wm·Δ(1,P) –P·(wm-1)
Δ(wm,P+Q) = wm·Δ(1,P) –(wm-1)· Δ(0,P)
Inclusión:
Δ(a, Δ(b,P)) = P – (a+b)P- + (ab)P=
Δ(a, Δ(b, Δ(c,P))) = P – (a+b+c)P- + (ab+bc+ca)P= - (abc)P
Inclusión 2:
Δ(a, Δ(a,P)) = P – 2aP- + a2·P=
Δ(a, Δ(a, Δ(a,P))) = P – 3aP- + 3a2·P= - a3·P
(Se puede ver que van apareciendo los número del tríángulo de Tartaglia/Pascal)

Para hacerse una idea de cómo varía utilizaremos un ejemplo con P(x)=-3x2+x+3

Dibujo de la función:



Video de la variación:


Funciones de dos factores o más

Los dos ejemplos de inclusión anteriores pueden hacernos ver un ejemplo muy interesante con dos elementos previos a la función. Lo mejor será verlo con un ejemplo:

Sea: Δ(2, Δ(3,P)) = P – 5P- + 3P=
Para una función P(n) = 4n – 2 (por ejemplo)

P – 5P- + 3P= = 4n – 2   –5[4(n–1)– 2)]  + 6[4(n–2)–2] = 8n – 32
Entonces:
fn = 2n + 3n + 8n – 32
Para
fn – 5fn-1 + 6fn-2 = 4n – 2    ó    fn = 5fn-1 –  6fn-2 + 4n – 2

Como se puede observar este planteamiento vale tanto para un escalado de función (fn-1 ) como para dos escalados (fn-1 y fn-2) o más.

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