Ampliación a la serie de Fibonacci. Raíces dobles.

Raíces dobles.

Sea la serie recursiva:

f_n = 2·f_n-1 – f_n-2

Aplicando nuestro método se buscarán las raíces de:

x² – 2·x + 1 = 0

Que son:

r_1,2 = 1

Si intentamos buscar el término general este no podrá ser:

f_n = A1ⁿ + B1ⁿ

Dejo al lector ver que se trata de una evidente tontería.

Si viéramos la serie veríamos que, sin embargo esta debería ser muy sencilla. Veamos un apr de ejemplos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

1, 3, 5, 7, 9, 11, …

a, b, 2b-a, 3b-2a, 4b-3a, … n·a-(n-1)b . Mucho más sencillo ¿no?

Pero compliquémonos un poco más, siendo más generalistas:

Si,

 (x-r)(x-r)= x²-2r+r²

implicaría que:

 f_n = 2r·f_n-1 – r²f_n-2

que tendría a r como raíz doble

a, b, 2rb-ar², 3r²b-2ar³, 4r³b-3ar⁴, … , n·r^(n-1)b - (n-1)·arⁿ

Con a y b como f0 y f1:

f_n = [nf₁] ·r^(n-1)  - [(n-1)f₀] · rⁿ

Interesante y diferente a la solución general con raíces diferentes: 

f_n = A·r₁ⁿ  - B· r₂ⁿ

Obsérvese el exponente (n-1) en vez del exponente n esto será muy interesante en los próximos artículos.