La función INEX; Transformación de funciones implícitas a explícitas.Primera parte

El objetivo principal es poder pasar de funciones del tipo:

f_n = f(f_n-1, f_n-2…) ; Implícita

A

f(n) = f(n); explícita

Hasta ahora hemos visto del caso de funciones impílícitas polinomiales puras, es decir, del tipo:

f_n = ∑A_i·f(n-i); i  e [1..k];

Y acabamos encontrando la solución:

f_n = ∑a_i·r_iⁿ; i e [1..k]; 

Donde r son las raíces de la ecuación:

 x^n-k - ∑A_i·x^n-i = 0;

Puede verse el desarrollo en:

• Ampliaciones a la serie de Fibonacci

• Ampliación a la serie de Fibonacci. Raíces dobles.

• Ampliación a la serie de Fibonacci. Raíces triples ... y más.

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Simplificando a un término

Avanzando en nuestro objetivo principal, vamos a realizar la búsqueda de las funciones implícitas mixtas. Esto es, del tipo:

f_n = ∑A_i·f_n-i + ∑a_i·n^n-j; i e [1..p], j i e [1..q];

Serían de la forma:

f_n = ω·f_n-1 + ∑A_i·n^j 

Dejamos al lector la comprobación del fundamento de tal aseveración

Como es de imaginar lo más simple es empezar con p=1 y q=0:

f_n = ω ·f_n-1 + A

Para llegar a

f(n) = w·rⁿ + a

Obtenemos

• w = f₀+A/(ω-1);
• a = –A/(ω-1); 

f(n) = [f₀+A/(ω-1)]·ωⁿ –A/(ω-1); 
Salvo, cuando ω=1: f(n) = f₀+A·n;  ¡SUBE UN GRADO EL POLINOMIO!

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Simplificación de dos términos

El siguiente paso es con p=1 y q=2

f_n = ω ·f_n-1 + B·n + A

 Para llegar a

f(n) = w·rⁿ + b·n + a

 Obtenemos

• r=ω;
• w = f₀+B· ω /( ω -1)²+A· ω /( ω -1);
• b = – B/( ω -1);
• a = - B· ω /( ω -1)² – A· ω /( ω -1); 

f(n) = [f₀+B·ω/(ω-1)²+A/(ω -1)]·ωⁿ -[B/(ω-1)]·n - B· ω/(ω -1)² – A/(ω-1);
Salvo, cuando ω=1: f(n) = f₀+B·n(n+1)/2+A·n; 
¡SUBE UN GRADO EL POLINOMIO!

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Simplificación de tres términos

El siguiente paso es con p=1 y q=3 

f_n = ω ·f_n-1 + C·n² + B·n + A

 Para llegar a

f(n) = k·rⁿ  + c·n² + b·n + a

 Obtenemos 

• r=ω;
• c = –C /(ω – 1);
• b = –B /(ω–1)–2Cω/( ω -1)² ;
• a = –A/(ω–1) – Bω/(ω–1)² –Cω(ω+1)/(ω–1)³; 
• k = f₀ – a;

f_n = [f₀+A/(ω–1)+Bω/(ω–1)²+Cω(ω+1)/(ω–1)³]·rⁿ +[–C/(ω-1)]·n² + [–B /(ω–1)–2Cω/( ω -1)² ]·n+[–B /(ω–1)–2Cω/( ω -1)²];

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Primera conclusión

Es fácil llegar a la conclusión de que para p=1 y un grado cualquiera:

f_n = ω ·f(n-1) + Polinomio de grado "q"

 Se puede llegar

f(n)= k·rⁿ + Otro polinomio de grado "q" 
¡Ó "q+1" SI w=1!

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Definición de transformada de INEX (intrínseca a extrínseca)

Dado un polinomio P(n) se define INEX(ω,P(n)) = Q(n)
al Polinomio que resulta de transformar f_n = ω ·f_n-1 + P(n)  a f(n) = k·rⁿ + Q(n) 

Y la función inversa EXIN,  Dado un polinomio Q(n) se define EXIN(ω, Q(n)) = P(n)

al Polinomio que resulta de transformar el caso contrario f(n) = k·rⁿ + Q(n) a f_n = ω ·f_n-1 + P(n) . 

En próximas entregas veremos propiedades muy interesantes de las funciones INEX y EXIN