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sábado, 6 de enero de 2018

La función INEX; Transformación de funciones implícitas a explícitas.Primera parte



El objetivo principal es poder pasar de funciones del tipo:
fn = f(fn-1fn-2…) ; Implícita
A
f(n) = f(n); explícita

Hasta ahora hemos visto del caso de funciones impílícitas polinomiales puras, es decir, del tipo:
fn = ∑Ai·f(n-i); i  e [1..k];
Y acabamos encontrando la solución:
fn = ∑ai·rin; i e [1..k]; 
Donde r son las raíces de la ecuación:
 xn-k - ∑Ai·xn-i = 0;

Puede verse el desarrollo en:

Simplificando a un término

Avanzando en nuestro objetivo principal, vamos a realizar la búsqueda de las funciones implícitas mixtas. Esto es, del tipo:
fn = Ai·fn-i + ∑ai·nn-j; i e [1..p], j i e [1..q];
Serían de la forma:
fn = ω·fn-1 + ∑Ai·nj 
Dejamos al lector la comprobación del fundamento de tal aseveración

Como es de imaginar lo más simple es empezar con p=1 y q=0:
fn = ω ·fn-1 + A
Para llegar a
f(n) = w·rn + a
Obtenemos
  • w = f0+A/(ω-1);
  • a = –A/(ω-1); 
f(n) = [f0+A/(ω-1)]·ωn –A/(ω-1); 
Salvo, cuando ω=1: f(n) = f0+A·n;  ¡SUBE UN GRADO EL POLINOMIO!


Simplificación de dos términos


El siguiente paso es con p=1 y q=2
fn = ω ·fn-1 + B·n + A
 Para llegar a
f(n) = w·rn + b·n + a
 Obtenemos
  • r=ω;
  • w = f0+B· ω /( ω -1)2+A· ω /( ω -1);
  • b = – B/( ω -1);
  • a = - B· ω /( ω -1)2 – A· ω /( ω -1); 
f(n) = [f0+B·ω/(ω-1)2+A/(ω -1)]·ωn -[B/(ω-1)]·n - B· ω/(ω -1)2 – A/(ω-1);
Salvo, cuando ω=1: f(n) = f0+B·n(n+1)/2+A·n; 
¡SUBE UN GRADO EL POLINOMIO!


Simplificación de tres términos


El siguiente paso es con p=1 y q=3 
fn = ω ·fn-1 + C·n2 + B·n + A
 Para llegar a
f(n) = k·rn  + c·n2 + b·n + a
 Obtenemos 
  • r=ω;
  • c = –C /(ω – 1);
  • b = –B /(ω–1)–2Cω/( ω -1)2 ;
  • a = –A/(ω1) – Bω/(ω–1)2 –Cω(ω+1)/(ω1)3; 
  • k = f0 – a;


fn = [f0+A/(ω1)+Bω/(ω–1)2+Cω(ω+1)/(ω1)3]·rn +[–C/(ω-1)]·n2 + [–B /(ω–1)–2Cω/( ω -1)2 ]·n+[–B /(ω–1)–2Cω/( ω -1)2];





Primera conclusión


Es fácil llegar a la conclusión de que para p=1 y un grado cualquiera:

fn = ω ·f(n-1) + Polinomio de grado "q"
 Se puede llegar
f(n)= k·rn + Otro polinomio de grado "q" 
¡Ó "q+1" SI w=1!





Definición de transformada de INEX (intrínseca a extrínseca)




Dado un polinomio P(n) se define INEX(ω,P(n)) = Q(n)
al Polinomio que resulta de transformafn = ω ·fn-1 + P(n)  a f(n) = k·rn + Q(n) 

Y la función inversa EXIN,  Dado un polinomio Q(n) se define EXIN(ω, Q(n)) = P(n)

al Polinomio que resulta de transformar el caso contrario f(n) = k·rn + Q(n) a fn = ω ·fn-1 + P(n) . 

En próximas entregas veremos propiedades muy interesantes de las funciones INEX y EXIN

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