Ampliaciones a la serie de Fibonacci

No vamos a realizar el trabajo de cómo se busca el término general de la serie de Fibonacci simplemente resumiremos el proceso.

La serie de Fibonacci está definida como:

f_n = f_n-1 + f_n-2

O, si se prefiere como:

f_n - f_n-1 - f_n-2 = 0

Para el cálculo del término general, se puede partir de buscar las raíces de la ecuación de segundo grado:

x² – x – 1 = 0

Que son:

r_1,2 = 1/2 ± √5/2

De tal modo que

f_n = Ar₁ⁿ + Br₂ⁿ

Si partimos de f₀ = 0 y f₁ = 1, resultará A=-B=1/√5. Con lo que:

f_n = 1/√5·(1/2 + √5/2)ⁿ - 1/√5· (1/2 - √5/2)ⁿ

 Ampliación deducida:

Para una función ampliada:

f_n = ∑ A_if_n-i (para i e [1..k])

El método a seguir sería la resolución del polinomio de grado k

x^k - ∑ A_ixⁱ = 0 (para i e [1..k-1])

Obtenidas sus k raíces (r_i)

f_n = ∑ C_ir_iⁿ (para i e [1..k])

O lo que es lo mismo:

f_n = ∑ A_if_n-i = ∑ C_ir_iⁿ

Esto último es muy interesante porque liga series de potencias con series implícitas

Continuidad en el mundo de los números reales.

Otro punto muy interesante de este tipo de sucesiones es cuando se establece la continuidad en el mundo real. (algo que no se puede hacer con la función recursiva).

^{Y, si aumentáramos hacia números negativos:}

En el caso de raíces todas positivas, obiamente la solución es mucho más simple como el el ejemplo de: f_n = 1ⁿ + 2ⁿ   que corresponde a las raices de la ecuación: x² – 3x + 2 = 0. Y, por lo tanto a la función recursiva:   f_n = 3f_n-1 – 2f_n-2.

NOTA: más adelante veremos que esta solución no es la más correcta, ya que la curva sinusoidal en realidad es helicoidal sobre el mundo complejo. (véase final del artículo)

^{Aparición de números complejos}

^{Resulta también interesante observar qué pasa con otras sucesiones recurrente que implican el uso de números complejos. Una de las más simples sería:}

f_n = f_n-1 - f_n-2

Cuyo polinomio característico sería:

x² – x + 1 = 0

Con la raíces:

r_1,2 = 1/2 ± √3i/2

Y, si partimos de f₀ = 0 y f₁ = 1, resultará A=-B=1/√3i. Con lo que:

f_n = 1/(√3i)·(1/2 + √3i/2)ⁿ - 1/(√3i)· (1/2 - √3i/2)ⁿ

^{Para la serie: 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, ....}

^{Soluciones reales a problemas complejos}

^{Si revisáramos nuestro solucionario de funciones con complejos:
https://carreteras-laser-escaner.blogspot.com/2014/11/solving-complex-type-functions-solucion.html}

( a + bi )^{( c + di )} = e^f · Cos(g)+ e^f · [Sin(g)]i

Donde:

           f = c·Ln(√(a²+b²)) - d·Atn(b/a)

           g = c·Atn(b/a) + d·Ln(√(a²+b²))

nuestra función:

f_n = 1/(√3i)·(1/2 + √3i/2)ⁿ - 1/(√3i)· (1/2 - √3i/2)ⁿ

Se transcribiría como:

f_n = 2/√3·sen(nπ/3)

La gracia la encontramos en el hecho de que las funciones recursivas pares (de dos elementos) cuya solución como función explícita contiene raíces complejas proporciona finalmente un solución continua en el ámbito de los mundos reales. Pero si las raíces obtenidas fueran números reales y alguno negativo como en la serie de Fibonacci (1/2 - √5/2 = -0,618033989) la solución será, obviamente compleja (como ocurre con potencias no enteras de números negativos):

f_n = 1/√5·(1/2 + √5/2)ⁿ - 1/√5· |1/2 - √5/2|ⁿ·cos(n·π) - 1/√5· |1/2 - √5/2|ⁿ·sen(n·π)i

Dejo al lector su demostración. ;-)