Fractional continuous derivatives / Derivada continua y fracional

Partiendo del concepto de derivada:
On the basis of the concept of derivative:

Véase / See:

•       http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
•       http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative 

Se puede ver fácilmente que: / You can easily see: ∃ n ∈ N;  dⁿf(x)/(dn) ^n.

El cambio importante es hacer que n pase a format parte de los numeros reales, n ∈ R.

The significant change is to get that "n" becomes a real number, n ∈ R.

Primeros ejemplos sencillos / First simple examples

Monomios: / Monomials:

f(x)=x ^n.;   f'=n·x ^n-1.;      f''=n·(n-1)·x ^n-2;      f'''=n·(n-1)·(n-2)·x ^n-3.;      f''''=n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·x ^n-3;   

f ^(m=n!/(n-m)!·x ^n-m;   

F(x)=x ⁵ y sus sucesivas derivadas enteras.
F(x)=x ⁵  and itssuccessive integer derivatives .

Para poder pasar de [m ∈ N] a [m ∈ R]
We change [m ∈ N] to [m ∈ R]

f ^(m=Γ(n+1)/Γ(n+1-m)·x ^n-m;   

F(x)=x ⁵ y las derivadas 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1
F(x)=x ⁵ and the drerivatives 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 and 1

Donde la función Γ(n) es la función Gámma: 
Where Γ (n) function is the gamma function:

• http://es.wikipedia.org/wiki/Función_gamma 
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

Un ejemplo sencillo sería con la / simple example with f(x)=x ⁴; f ^(1/2(x)=Γ(1.5)/Γ(4.5)·x ^3.5;   

Seno y coseno

f(x)=sen(x)^.;   f'=cos(x);  f''=-sen(x);   

O si se prefiere: or whether you prefer:

f(x)=sen(x)^.;   f'=sen(x+π/4);  f''=sen(x+2·π/4);   

f ^(m=sen(x-m·π/4);   

Ejemplos más complicados: / Examples more complicated:

Se toma una f(x), se obtiene la trnsformada de Taylor y se utiliza la regla de cada monomio:
We take a function f(x), we get the Taylor transform, and use the same rule for each monomial:

Véase: /  See

• http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor
• http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Inciso;Resolución de exponentes con números complejos:

Subsection; Resolution of complex numbers with complex exponents:

Antes de adentrarnos en solucionar funciones con raíces lo primeros es conocer como se resuelve un número complejo elevado a un exponente complejo:
Before going to solve functions with roots, the first is known how it is a complex number elevated a a complex exponent:

(a+bi)^(c+di)=e^(c·ln(√^{(a²+b²))-d·atn(b/a))}·[cos(c·atn(b/a)+d·ln(√(a²+b²))+i·sen(c·atn(b/a)+d·ln(√(a²+b²))]

En nuestro caso, casi siempre a<0, b=d=0 Lo cual simplifica a:
In our case, usually a<0 and b=d=0 Which simplifies to:

a^c=|a|^c·[cos(c·π)+i·sen(c·π)]

Dado que, As: tan(π) =  tan(0) = 0.

Ahora ya podemos dibujar la parte positiva y negativa de las funciones derivadas resultantes. Para ver como queda se edita el siguiente vídeo:

Now we can draw positive and negative part of the resulting derivative functions. To see how it is edited the following video:

Inciso; Subderivada de una constante / Subsection; Subderivative of a constant.

f(x)=k=k·x ^0.;

f ^(m=k·0!/(0-m)!·x ^-m;   

f ^(m=k·Γ(1)/Γ(1-m)·x ^-m;  

f ^(m=k/Γ(1-m)·x ^-m;  

Subderivada de / subderivative of e^x;

f(x)=e ^x.= 1+x+x ²/2!+x ³/3!+x ⁴/4!+x ⁵/5!+x ⁶/6! ...

f ^(m=1/Γ(1-m)·x ^0-m+Γ(2)/Γ(2-m)·x ^1-m+Γ(3)/Γ(3-m)·x ^2-m+Γ(4)/Γ(4-m)·x ^3-m+Γ(5)/Γ(5-m)·x ^3-m...

Un regalo. Las subderivadas del coseno hiperbólico:

A gift. The hiperbolic cosine subderivatives:

Si quieres utilizar el programa que he usado para crear estos dubujos descárgalos de aquí (hecho en VB6):

If you want use the program I have make to do this graphs, download form here (make with VB6):

Luis Nieto