Hace mucho tiempo, tenía unos 16 años y estudiaba el bachiller. Era una época con acné y toneladas de hormonas. Cuando éstas me dejaban pensar en otras cosas tenía auténtica pasión por las matemáticas. Cuando resolvía un problema y entendía un concepto sentía como una especie de iluminación y tranquilidad interior. Me sentía bien. Un día el profesor de matemáticas nos empezo a explicar un nuevo concepto, la derivada. Todo empezó con una definición un poco simple. Primero se crea un quebrado:
A long time ago I was about 16 years old, and studied the degree. It was a time with acne and tons of hormones. When they let me think about other things I had a passion for mathematics. When solving a problem and understand a concept, I felt like a kind of enlightenment and inner tranquility. I felt good. One day the math teacher we started to explain a new concept, the derivative. It all started with a somewhat simple definition. First create a fraction:
[ f(x+h) - f(x) ] / h
La idea era hacer "h" lo más pequeña posible para así obtener la tangente en el punto x cuando h → 0. Es decir: df(x)/dx=lim (h → 0) [ f(x+h) - f(x) ] / h .
The idea was to make "h" as small as possible to obtain the tangent at the point x when h → 0, ie: df (x) / dx = lim (h → 0) [f (x + h) - f (x)] / h.
El proceso pasó por una fase en que empezamos a derivar monomios. El proceso parecía bastante simple x n, pasaba a ser n·x n-1, sen(x) se convertía en cos(x), e x, quedaba inmutable. Especial fascinación me produjo la derivada del logaritmo ya que las anteriores no cambiaban el concepto. Los monomios eran otros monomios, las funciones trigonométricas se convertían en trigonométricas... pero el logaritmo... dln(x)/dx=1/x. el logaritmo pasaba a ser un monomio.
The process went through a phase where we started to derivate monomials. The process seemed simple x n, becames n·x n-1, sen(x) turns cos(x), e x, remained unchanged. Special fascination gave me the derivative of the logarithm. The above functions did not change the concept. Monomials were other monomials, trigonometric functions were other trigonometric ... but the logarithm... dln (x) / dx = 1 / x. the logarithm he would become a monomial with negative degree.
Más increíble me pareció que df(g(x)/dx=f'·g' y que df(x)·g(x)/dx=f'·g+f·g'.
More amazing I found df(g(x)/dx=f'·g' and df(x)·g(x)/dx=f'·g+f·g'.
Ahora es muy fácil ver explicaciones a esto. Pero en 1983 uno no podía teclear en un ordenador http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada.
Now it's easy to see explanations for this. But in 1983 you could not type on a computer http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative.
Jugando con el tema por mi cuenta vi que si x 4,por ejemplo. Si se derivaba se obtenía 4·x 3. Si volvía a derivar obtenía 4·3·x 2, y sucesivamente, 4·3·2·x 1,4·3·2·1=4!, hasta acabar en 0. Le pregunté a mi profesor que qué era eso de derivar "m" veces una función como f(x)=x n y obtener n!/(n-m)!·x n-m. Me contestó que eso eran derivadas de oreden m y asía acabó la explicación.
Playing with the topic on my own I saw that if x 4, for example. was derived was obtained 4·x 3. If again derive got 4·3·x 2, and so on, 4·3·2·x 1, 4·3·2·1=4!,, to finish in 0. I asked my teacher what it meant to derive "m" times a function like f(x)=x n and get n!/(n-m)!·x n-m. He replied that they were derivatives of order "m" and so ended the explanation.
En ese momento algo chispeante pasó por mi imaginación. De número simples (naturales) se había pasado a números negativos, quebrados, multiplicaciones, raíces... Del concepto número al concepto función. De escribir matemáticas con números a escribir matemáticas con letras. Y ahora, además había funciones de funciones, como la derivada y las derivadas de orden "m". (Nota: Como es costoso escribir signos raros en este blog adoptaré un nomenclatura más sencilla.) Ahora había una función "D" tal que D(m,f(x)) nos daba una transformación de una función. D(m,x n)=n!/(n-m)!·x n-m con m ∈ N
At that moment something sparkling crossed my imagination. Natural number had passed to negative numbers, fractions, multiplication, roots ... from the concept number to the function concept. From writing math mathematics with numbers to write that with letters. And now, there were also functions of functions such as the derivative and derivative of order "m". (Note:. Rare signs is costly to write in this blog I will adopt a simple nomenclature). Now there was a "D" function such that D (m, f (x)) turned a transformation of a function. D(m,x n)=n!/(n-m)!·x n-m con m ∈ N
f(x)=x n.; f'=n·x n-1.; f''=n·(n-1)·x n-2; f'''=n·(n-1)·(n-2)·x n-3.; f''''=n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·x n-3;
f (m=n!/(n-m)!·x n-m;
 |
| F(x)=x 5 y sus sucesivas derivadas enteras. F(x)=x 5 and itssuccessive integer derivatives . |
Pero en ese momento, pensé y si m fuera negativo. en nuestro viejo ejemplo D(-1,x 4)=5!/6!·x 6=1/6·x 6. Volví a preguntarle a mi profesor. Éste me dijo "No te adelantes, eso son integrales y ya lo estudiaremos". Que quedé clavado. ¿Que significaba integral? Me había contestado a una duda con una palabra que carecía de significado. En aquel curso no teníamos libro de matemáticas. El profesor traía unas fotocopias y tendría que esperar a que explicase que eran eso de las "integrales". No diré a quien pregunté (aunque lo recuerdo, pero como esto es un blog no quiero que nadie se ofenda) . Pero cuando hacía la pregunta ¿Qué son las derivadas de orden negativo de una función? la respuesta siempre era la misma (o una variante similar). ESO NO EXISTE.
But then I thought what if "m" were negative. In our old example D (-1, x 4) = 5! / 6! · X 6 = 1/6 x 6 · I went back to ask my teacher. He told me "Do not get ahead, that are integrals, and we will study it." I was flabbergasted. What meant integral? I had answered a question with a word that had no meaning. In that course we had no math book. The teacher brought photocopys and would have to wait to explain that they give us abaut "integrals". I will not say who asked (although I remember, but as this is a blog not want anyone to be offended). But when asked the question What are the derivatives of negative order of a function? the answer was always the same (or a similar variant). THAT DOES NOT EXIST.
Pasaron unas semanas (o meses) y empezamos con las integrales. Si, de acuerdo nadie lo llama derivada de orden negativo pero era eso. Y claro que existía D(-1,f(x)) pero la escribían ∫f(x)dx. También existía D(-2,f(x)) pero la escribían ∫[∫f(x)dx. ]dx y así sucesivamente. Ahora nuestra función tiene valores de m pertenecientes a los números enteros.
A few weeks ago (or months) and we start with the integrals. whether, in accordance nobody called negative derivative order but they was. Clearly, there was D(-1, f (x)) but it was wrote as ∫f(x)dx. There was also D(-2,f(x)) but it was wrote as ∫[∫f(x)dx]dx and so on. Now our function has m values belonging to integer numbers.
No transcurrió mucho tiempo hasta que pensé ¿y si m en lugar de un número entero fuera un número fraccionario, o mejor aún real?. Fuí de nuevo a mi profesor (a estas alturas supongo que ya lo tendría aburrido) y le dije algo parecido a ésto: ¿Qué es una derivada con un orden fraccionario o real?. Me contestó que eso no existía. Yo, creo recordar, le insistí con un ejemplo. (como ahora no recuerdo bien cual era me lo medio invento) Si tengo una función f(x)=x 4; d1/2x 4/(dx)1/2=4!/3.5!·x 3.5 . Cuando vio el 3.5! me dijo "Ves, 3.5! no existe, luego no existe una derivada de ese tipo. Qué lástima de internet. Si la hubiera tenido entonces le habría contestado con un ¿Y qué es la función Gamma (http://es.wikipedia.org/wiki/Función_gamma) . De todas maneras la contestación de "no existe" no me satisfizo en absoluto. No se desde cuando pienso que si en matemáticas algo no existe tiene una fácil solución, se inventa.
It was not long until I thought what What if "m" instead of an integer be a fraction, or better yet Real?. I went back to my teacher (at this point, I suppose he would have bored with me) and I said something like this: What is a derivative with a fractional or real order ?. He replied that it did not exist. I, as I recalls, insisted with an example. (I can not remember what it was, I made it up) If I have a function f(x)=x 4; d1/2x 4/(dx)1/2=4!/3.5!·x 3.5. When he saw the 3.5! he said me: "See, 3.5! not exist, then there isn't such the derivative. What a pity Internet. If I'd had time, I would have answered with a: What is the Gamma function (http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function). Anyway the answer to "don't exist" did not satisfy me at all. I don't know since when I think that if something exists in mathematics it has easy solution, it invents.
Otro punto era que no sabía es qué estaba haciendo y cual era el significado de estas cosas. Con la primera derivada se calculan tangentes, con la segunda se sabe si la función es ascendente o descendente, con la integral se calculan áreas. Pero cuando m es diferente a 1,2, y -1 ¿Qué es D(m,f(x))? la respuesta es más difícil de contestar cuando m, además no es un número entero.
Another point was that I did not know what I was doing and what was the meaning of these things. With the first derivative calculated tangentss, with the second is known if the function is ascending or descendings, with the integral are calculated areas. But when "m" is different from 1, 2 and -1 What is D(m,f(x))? the answer is more difficult when m isn't an integer number.
Un día lei un artíaculo de la revista "Investigación y ciencia". No recuerdo si era de la sección de Martin Gardner en el aparecia la función Gamma. De repente todo era muy simple: Γ(n+1)=n! y admitía valores de todo el espectro de números reales. volví a mis monomios y todo resultó más simple:
One day I read an article in the magazine "Scientific American". I do not remember if it was in Martin Gardner section where it appeared in the Gamma function. Suddenly everything was very simple: Γ (n + 1) = n! and admitted values of the entire spectrum of real numbers. I returned to my monomials and everything was more simple:
Para f=x n → D(m,f)=Γ(n+1)/Γ(n+1-m)·x n-m;
 |
| F(x)=x 5 y las derivadas 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1 F(x)=x 5 and the drerivatives 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 and 1 |
Un ejemplo sencillo sería con la / simple example with f(x)=x 4;
f (1/2(x)=Γ(5)/Γ(4.5)·x 3.5; = (5/√π)·x 3.5
Seno y coseno / Sine and cosine
f(x)=sen(x).; f'=cos(x); f''=-sen(x);
O si se prefiere: or whether you prefer:
f(x)=sen(x).; f'=sen(x+π/4); f''=sen(x+2·π/4);
f (m=sen(x-m·π/4);
Ejemplos más complicados: / Examples more complicated:
Se toma una f(x), se obtiene la trnsformada de Taylor y se utiliza la regla de cada monomio:
We take a function f(x), we get the Taylor transform, and use the same rule for each monomial:
Véase: / See
Inciso;Resolución de exponentes con números complejos:
Subsection; Resolution of complex numbers with complex exponents:
Antes de adentrarnos en solucionar funciones con raíces lo primeros es conocer como se resuelve un número complejo elevado a un exponente complejo:
Before going to solve functions with roots, the first is known how it is a complex number elevated a a complex exponent:
(a+bi)(c+di)=e(c·ln(√(a²+b²))-d·atn(b/a))·[cos(c·atn(b/a)+d·ln(√(a²+b²))+i·sen(c·atn(b/a)+d·ln(√(a²+b²))]
En nuestro caso, casi siempre a<0, b=d=0 Lo cual simplifica a:
In our case, usually a<0 and b=d=0 Which simplifies to:
In our case, usually a<0 and b=d=0 Which simplifies to:
ac=|a|c·[cos(c·π)+i·sen(c·π)]
Dado que, As: tan(π) = tan(0) = 0.
Ahora ya podemos dibujar la parte positiva y negativa de las funciones derivadas resultantes. Para ver como queda se edita el siguiente vídeo:
Now we can draw positive and negative part of the resulting derivative functions. To see how it is edited the following video:
Inciso; Subderivada de una constante / Subsection; Subderivative of a constant.
f(x)=k=k·x 0.;
f (m=k·0!/(0-m)!·x -m;
f (m=k·Γ(1)/Γ(1-m)·x -m;
f (m=k/Γ(1-m)·x -m;
Subderivada de / subderivative of ex;
f(x)=e x.= 1+x+x 2/2!+x 3/3!+x 4/4!+x 5/5!+x 6/6! ...
f (m=1/Γ(1-m)·x 0-m+Γ(2)/Γ(2-m)·x 1-m+Γ(3)/Γ(3-m)·x 2-m+Γ(4)/Γ(4-m)·x 3-m+Γ(5)/Γ(5-m)·x 3-m...
Si quieres utilizar el programa que he usado para crear estos dubujos descárgalos de aquí (hecho en VB6):
If you want use the program I have make to do this graphs, download form here (make with VB6):
Un regalo. Las subderivadas del coseno hiperbólico:
A gift. The hiperbolic cosine subderivatives:
Todo esto ha sido más fácil hacerlo ahora con la ayuda de un ordenador e internet. Todos estos gráficos ya los hiciera hace 20 años con ayuda de una calculadora, un lápiz y un papel. Aún hoy no sé la utilidad de todo esto, pero estoy contento de saber que "no existe" es lo único que no existe en matemáticas.
All this has been easier to do now with the help of a computer and internet. All These graphs and I did 20 years ago with the help of a calculator, pencil and paper. Even today I don't know the usefulness of all this, but I am glad to know that "don't exist" is the only thing that does not exist in mathematics.
Si quieres utilizar el programa que he usado para crear estos dubujos descárgalos de aquí (hecho en VB6):
If you want use the program I have make to do this graphs, download form here (make with VB6):
Luis Nieto
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