The discrete GIS I / El GIS discreto I

Introducción / Introduction

El objetivo final de este artículo es explicar como es posible pasar de una geolocalización a una capa de GIS. Hacer una geolocalización de datos es extremadamente simple. Sin embargo, realizar una zonificación GIS es mucho más compleja. Además hoy en día tenemos multitud de dispositivos móviles. Estos tienen multitud de sensores, ampliables con gadgets y siempre constan de GPS. Es "fácil" crear software que tome estos datos, los procese, y los asocie a unas coordenadas. De esta forma tendremos al final un conjunto de datos geolocalizados. Para que estos pasen a formar parte de un GIS es necesario dotarles de continuidad.

The ultimate goal of this article is to explain how it is possible to convert a geolocation in a GIS layer. Make geolocation data is extremely simple. However, making a zoning GIS is much more complex. Moreover today we have many mobile devices. They have a multitude of sensors, expandable with gadgets and always consist of GPS. Is "easy" to create software that takes this data, process, and associating coordinates. In this way we will have at the end a set of geo data. So that these become part of a GIS it is necessary to provide them with continuity.

Una primera idea será actuar de la misma forma que ante un problema topográfico. ¿En qué consiste? Se hace un taquimétrico que no es otra cosa que dotar a unos puntos del espacio (X e Y) de una coordenada Z. Se realiza una triangulación (generalmente del tipo Delaunay) y se obtiene como resultado final un modelo de terreno. Bien podrá ser la propia triangulación, la realización de unas curvas de nivel o una matriz discreta cuadriculada.

A first idea is to act in the same way that in a topographical problem. What does it consist of? One tachymetric lifting is done. This is to equip some points in space (X and Y) of a coordinate Z. Triangulation (Delaunay usual type) is performed and final result is obtained as a terrain model. This may be the triangulation own, performing a level curves or a discrete grid matrix.

En nuestro blog ya hemos utilizado las técnicas de triangulación y para más información de este tema vea: 
In our blog we've used triangulation techniques and for more information about this, you could see:

• http://carreteras-laser-escaner.blogspot.com/2014/07/se-puede-hacer-algo-con-el-estudio-de.html
• http://carreteras-laser-escaner.blogspot.com/2014/08/geotecnia-fractales-y-laser-escaner.html

• http://carreteras-laser-escaner.blogspot.com/2014/11/a-extra-dimension-in-triangulation_13.html
• http://carreteras-laser-escaner.blogspot.com/2014/11/a-extra-dimension-in-triangulation.html

La novedad la tendremos en la consecución de una matriz discreta cuadriculada. En realidad estamos buscando un nuevo método de modelización del terreno apartándonos de la típica triangulación. Como se verá más adelante tendrá una repercusión muy importante.

The novelty we have in achieving a discrete grid matrix. We're actually looking for a new method of modeling the ground moving away from the typical triangulation. As will be seen later you will have a very significant impact.

Base matemática / Mathematical basis

Conviene volver a leer nuestro artículo de redes de Taylor multidimensionales:
Should re-read our article about multidimensional networks Taylor:

• http://carreteras-laser-escaner.blogspot.com.es/2014/09/taylor-n-dimensional-nets-redes-de.html

También necesitamos recordar como se resuelven los sistemas de ecuaciones aunque creo que no hemos olvidado el típico cálculo de resolución de sistemas de ecuaciones.

We also need to remember how the systems of equations are solved but I think that we have not forgotten the typical calculation of solving systems of equations.

Un ejemplo / One example

Hemos partido de los datos de toma de contaminación electromagnética provocada por las redes wifi de Pontevedra

We started with the data of electromagnetic pollution from wifi networks of Pontevedra.

Colocando los datos sobre con Google Earth
Positioning data with Google Earth

Se ha usado Google Earth
Google Earth has been used

El caso más simple lo obtendríamos con un sólo dato (resolveríamos por cada punto una ecuación con una incógnita)
The simplest case you would get with a single data (for each point would solve an equation with one unknown)

Se ha usado Google Earth
Google Earth has been used

Comparando dos datos por punto:
Comparing two data per point:

Se ha usado Google Earth
Google Earth has been used

Comparando tres datos por punto:
Comparing three data per point:

Se ha usado Google Earth
Google Earth has been used

Comparando seis datos por punto:
Comparing six data per point:

Y siendo salvaje, cambiamos la matriz de 100x100 (10.000 puntos ) por otra de 1000x1000 (un millón de puntos):
let's us wild, we change the matrix of 100x100 (10,000 points) for another of 1000x1000 (one million points):

Se ha usado Google Earth
Google Earth has been used

Quizás pensemos que será mejor tener más marcadas las curvas de nivel:
We may think we'd better have more pronounced the contour lines:

Para 100 divisiones: / For 100 divisions

Se ha usado Google Earth
Google Earth has been used

Para 1000 divisiones: / For 1000 divisions:

Se ha usado Google Earth
Google Earth has been used

Conclusiones / Conclusions

Con un número pequeño, pero bien pensado, se pueden extraer los mismos resultados que una batida de recogida de datos masiva cuando éstos son difusos como la contaminación por ondas (también puede utilizarse con el ruido - ondas sonoras)

With a small number, but well thought out, you can extract the same results as a massive collection of data where these are diffuse pollution as waves (also can be used with noise - sound waves)

Tunaritmos: The changeless tirhd derivative / La inmutable tercera derivada

Era el año 1987 cuando me hice una pregunta ¿Cual sería la función cuya tercera derivada fuera ella misma?. Todo el mundo sabía que d(e^x)/dx=e^x. Que d²(Sh(x))/d²x=Sh(x) y d²(Ch(x))/d²x=Ch(x). Pero ¿cuales son el trío de funciones que d³(Tn(x))/d³x=Tn(x) .

Les di un nombre, Tunaritmos. No recuerdo porqué. Supongo que tendría una razón para ello. Me dispuse a deducirlas.

It was 1987 when I asked myself: What would be the function whose third derivative was herself ?. Everyone knew that d(e^x)/dx=e^x, and that d²(Sh(x))/d²x=Sh(x) y d²(Ch(x))/d²x=Ch(x). But, what are the trio of functions that d3 (Tn (x)) / d3x = Tn (x).

I gave them a name, Tunaritmos. I do not remember why. I guess I'd have a reason for it. I started to deduct.

Pensando un poco imaginé cual sería la serie de Taylor que tendrían:

With a little thought, I figured that would be the Taylor series that would have them:

      Tni(x) = 1 + x³/3! + x⁶/6! + x⁹/9! + ... + x³ⁿ/(3n)!

      Tnj(x) = x²/2! + x⁵/5! + x⁸/8! + ... + x³ⁿ⁺²/(3n+2)!

      Tnk(x) = x/1! + x⁴/4! + x⁷/7! + x¹⁰/10!+ ... +x³ⁿ⁺¹/(3n+1)!

De tal forma que / Compliant to: 

           

                          Tni(x) + Tnj(x) + Tnk(x) = e^x .

APLICANDO LAPLACIANOS

Se sabe que: It is know that:  d³(Tn(x))/d³x=Tn(x)

              Tni(0) = 1.

              Tnj(0) = 0.

              Tnk(0) = 0.

L(y) = L(y''') = p³L(y) – p²y_{0 –} py₀' – py₀'' →

     → L(y)[1-p³] = -p² →

     → Tni(x) = [e^x +2e^-x/2·cos(√3x/2)]/3

De igual manera. Similarly:

  L(y)[1-p³] = - 1 → Tnj(x) = [e^x -e^-x/2·( cos(√3x/2) + √3sen(√3x/2))]/3

 L(y)[1-p³] = - p → Tnk(x) = [e^x -e^-x/2·( cos(√3x/2) - √3sen(√3x/2))]/3

Pensando un poco más, la solución general que satisface: d³(Tn(x))/d³x=Tn(x) es:

Thinking a little more, the general solution that satisfies d³(Tn(x))/d³x=Tn(x) is:

     T(x) = k₁·e^x + k₂·e^{(-1/2 +√3i)x} + k₃·e^{(-1/2 -√3i)x}

Or with:  a=(-1/2 +√3i) and b=(-1/2 -√3i)

Tni(x) = 1/3 · (e^x + e^ax + e^bx)

Tnj(x) = 1/3 · (e^x + ae^ax + be^bx)

Tnk(x) = 1/3 · (e^x + be^ax + ae^bx)

Nota / Note:  1,a & b son las raices de / Are the roots of ³√1=1.

LAS GRÁFICAS DE LOS TUNARITMOS

Para valores negativos: For negative values:

Para valores positivos: For positiv values

Falta el saber la utilidad. I do not know its usefulness.

De aquí saltaremos a los triplejos. Complejos de tres dimensiones.

Al igual que existen números complejos : a+bi, por ejemplo. Crearemos los triplejos : a+bi+cj. Pero esos será otra historia.

From here jump to the 3-complex. Imaginary numbers with three dimensions.

There are imaginary numbers as the way (a + bi), for example. We will create the 3complex: a + bi + cj. But those will be another story.

Os dejo un enlace con una hoja de cálculo (en LibreOffice) para obtener estas gráficas:
I leave a connection to a spreadsheet (in FreeOffice) for these graphs:

https://www.dropbox.com/s/acg57ttyldj7bvp/tunaritmos.ods?dl=0

The history of fractional continuous derivatives / La historia de las derivadas continuas y fracionales

Hace mucho tiempo, tenía unos 16 años y estudiaba el bachiller. Era una época con acné y toneladas de hormonas. Cuando éstas me dejaban pensar en otras cosas tenía auténtica pasión por las matemáticas. Cuando resolvía un problema y entendía un concepto sentía como una especie de iluminación y tranquilidad interior. Me sentía bien. Un día el profesor de matemáticas nos empezo a explicar un nuevo concepto, la derivada. Todo empezó con una definición un poco simple. Primero se crea un quebrado:

A long time ago I was about 16 years old, and studied the degree. It was a time with acne and tons of hormones. When they let me think about other things I had a passion for mathematics. When solving a problem and understand a concept, I felt like a kind of enlightenment and inner tranquility. I felt good. One day the math teacher we started to explain a new concept, the derivative. It all started with a somewhat simple definition. First create a fraction:

[ f(x+h) - f(x) ] / h

La idea era hacer "h" lo más pequeña posible para así obtener la tangente en el punto x cuando h → 0. Es decir: df(x)/dx=lim (h → 0) [ f(x+h) - f(x) ] / h .

The idea was to make "h" as small as possible to obtain the tangent at the point x when h → 0, ie: df (x) / dx = lim (h → 0) [f (x + h) - f (x)] / h.

El proceso pasó por una fase en que empezamos a derivar monomios. El proceso parecía bastante simple x ^n, pasaba a ser n·x ^n-1, sen(x) se convertía en cos(x), e ^x, quedaba inmutable. Especial fascinación me produjo la derivada del logaritmo ya que las anteriores no cambiaban el concepto. Los monomios eran otros monomios, las funciones trigonométricas se convertían en trigonométricas... pero el logaritmo... dln(x)/dx=1/x. el logaritmo pasaba a ser un monomio. 

The process went through a phase where we started to derivate monomials. The process seemed simple  x ^n, becames n·x ^n-1, sen(x) turns cos(x), e ^x,  remained unchanged. Special fascination gave me the derivative of the logarithm. The above functions did not change the concept. Monomials were other monomials, trigonometric functions were other trigonometric ... but the logarithm... dln (x) / dx = 1 / x. the logarithm he would become a monomial with negative degree.

Más increíble me pareció que df(g(x)/dx=f'·g' y que df(x)·g(x)/dx=f'·g+f·g'.

More amazing I found df(g(x)/dx=f'·g' and df(x)·g(x)/dx=f'·g+f·g'.

Ahora es muy fácil ver explicaciones a esto. Pero en 1983 uno no podía teclear en un ordenador http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada.

Now it's easy to see explanations for this. But in 1983 you could not type on a computer http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative.

Jugando con el tema por mi cuenta vi que si x ⁴,por ejemplo. Si se derivaba se obtenía 4·x ³. Si volvía a derivar obtenía 4·3·x ², y sucesivamente, 4·3·2·x ¹,4·3·2·1=4!, hasta acabar en 0. Le pregunté a mi profesor que qué era eso de derivar "m" veces una función como f(x)=x ⁿ y obtener n!/(n-m)!·x ^n-m. Me contestó que eso eran derivadas de oreden m y asía acabó la explicación.  

Playing with the topic on my own I saw that if x ⁴, for example. was derived was obtained 4·x ³. If again derive got 4·3·x ², and so on, 4·3·2·x ¹, 4·3·2·1=4!,, to finish in 0. I asked my teacher what it meant to derive "m" times a function like f(x)=x ⁿ and get n!/(n-m)!·x ^n-m. He replied that they were derivatives of order "m" and so ended the explanation.

En ese momento algo chispeante pasó por mi imaginación. De número simples (naturales) se había pasado a números negativos, quebrados, multiplicaciones, raíces... Del concepto número al concepto función. De escribir matemáticas con números a escribir matemáticas con letras. Y ahora, además había funciones de funciones, como la derivada y las derivadas de orden "m". (Nota: Como es costoso escribir signos raros en este blog adoptaré un nomenclatura más sencilla.) Ahora había una función "D" tal que D(m,f(x)) nos daba una transformación de una función. D(m,x ⁿ)=n!/(n-m)!·x ^n-m con  m ∈ N

At that moment something sparkling crossed my imagination. Natural number had passed to negative numbers, fractions, multiplication, roots ... from the concept number to the function concept. From writing math mathematics with numbers to write that with letters. And now, there were also functions of functions such as the derivative and derivative of order "m". (Note:. Rare signs is costly to write in this blog I will adopt a simple nomenclature). Now there was a "D" function such that D (m, f (x)) turned a transformation of a function. D(m,x ⁿ)=n!/(n-m)!·x ^n-m con  m ∈ N

f(x)=x ^n.;   f'=n·x ^n-1.;      f''=n·(n-1)·x ^n-2;      f'''=n·(n-1)·(n-2)·x ^n-3.;      f''''=n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·x ^n-3;   

f ^(m=n!/(n-m)!·x ^n-m;   

F(x)=x ⁵ y sus sucesivas derivadas enteras.
F(x)=x ⁵  and itssuccessive integer derivatives .

Pero en ese momento, pensé y si m fuera negativo. en nuestro viejo ejemplo  D(-1,x ⁴)=5!/6!·x ⁶=1/6·x ⁶. Volví a preguntarle a mi profesor. Éste me dijo "No te adelantes, eso son integrales y ya lo estudiaremos". Que quedé clavado. ¿Que significaba integral? Me había contestado a una duda con una palabra que carecía de significado. En aquel curso no teníamos libro de matemáticas. El profesor traía unas fotocopias y tendría que esperar a que explicase que eran eso de las "integrales". No diré a quien pregunté (aunque lo recuerdo, pero como esto es un blog no quiero que nadie se ofenda) . Pero cuando hacía la pregunta ¿Qué son las derivadas de orden negativo de una función? la respuesta siempre era la misma (o una variante similar). ESO NO EXISTE.

But then I thought what if "m" were negative. In our old example D (-1, x 4) = 5! / 6! · X 6 = 1/6 x 6 · I went back to ask my teacher. He told me "Do not get ahead, that are integrals, and we will study it." I was flabbergasted. What meant integral? I had answered a question with a word that had no meaning. In that course we had no math book. The teacher brought photocopys and would have to wait to explain that they give us abaut "integrals". I will not say who asked (although I remember, but as this is a blog not want anyone to be offended). But when asked the question What are the derivatives of negative order of a function? the answer was always the same (or a similar variant). THAT DOES NOT EXIST.

Pasaron unas semanas (o meses) y empezamos con las integrales. Si, de acuerdo nadie lo llama derivada de orden negativo pero era eso. Y claro que existía D(-1,f(x)) pero la escribían ∫f(x)dx. También existía D(-2,f(x)) pero la escribían ∫[∫f(x)dx. ]dx y así sucesivamente. Ahora nuestra función tiene valores de m pertenecientes a los números enteros.

A few weeks ago (or months) and we start with the integrals. whether, in accordance nobody called negative derivative order but they was. Clearly, there was D(-1, f (x)) but it was wrote as ∫f(x)dx. There was also D(-2,f(x)) but it was wrote as ∫[∫f(x)dx]dx and so on. Now our function has m values ​​belonging to integer numbers.

No transcurrió mucho tiempo hasta que pensé ¿y si m en lugar de un número entero fuera un número fraccionario, o mejor aún real?. Fuí de nuevo a mi profesor (a estas alturas supongo que ya lo tendría aburrido) y le dije algo parecido a ésto: ¿Qué es una derivada con un orden fraccionario o real?. Me contestó que eso no existía. Yo, creo recordar, le insistí con un ejemplo. (como ahora no recuerdo bien cual era me lo medio invento) Si tengo una función f(x)=x ⁴;  d^1/2x ⁴/(dx)^1/2=4!/3.5!·x ^3.5 . Cuando vio el 3.5! me dijo "Ves, 3.5! no existe, luego no existe una derivada de ese tipo. Qué lástima de internet. Si la hubiera tenido entonces le habría contestado con un ¿Y qué es la función Gamma (http://es.wikipedia.org/wiki/Función_gamma) . De todas maneras la contestación de "no existe" no me satisfizo en absoluto. No se desde cuando pienso que si en matemáticas algo no existe tiene una fácil solución, se inventa.

It was not long until I thought what What if "m" instead of an integer be a fraction, or better yet Real?. I went back to my teacher (at this point, I suppose he would have bored with me) and I said something like this: What is a derivative with a fractional or real order ?. He replied that it did not exist. I, as I recalls, insisted with an example. (I can not remember what it was, I made ​​it up) If I have a function f(x)=x ⁴;  d^1/2x ⁴/(dx)^1/2=4!/3.5!·x ^3.5. When he saw the 3.5! he said me: "See, 3.5! not exist, then there isn't such the derivative. What a pity Internet. If I'd had time, I would have answered with a: What is the Gamma function (http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function). Anyway the answer to "don't exist" did not satisfy me at all. I don't know since when I think that if something exists in mathematics it has easy solution, it invents.

Otro punto era que no sabía es qué estaba haciendo y cual era el significado de estas cosas. Con la primera derivada se calculan tangentes, con la segunda se sabe si la función es ascendente o descendente, con la integral se calculan áreas. Pero cuando m es diferente a 1,2, y -1 ¿Qué es D(m,f(x))? la respuesta es más difícil de contestar cuando m, además no es un número entero.

Another point was that I did not know what I was doing and what was the meaning of these things. With the first derivative calculated tangentss, with the second is known if the function is ascending or descendings, with the integral are calculated areas. But when "m" is different from 1, 2 and -1 What is D(m,f(x))? the answer is more difficult when m isn't an integer number.

Un día lei un artíaculo de la revista "Investigación y ciencia". No recuerdo si era de la sección de Martin Gardner en el aparecia la función Gamma. De repente todo era muy simple: Γ(n+1)=n! y admitía valores de todo el espectro de números reales. volví a mis monomios y todo resultó más simple:

One day I read an article in the magazine "Scientific American". I do not remember if it was in Martin Gardner section where it appeared in the Gamma function. Suddenly everything was very simple: Γ (n + 1) = n! and admitted values ​​of the entire spectrum of real numbers. I returned to my monomials and everything was more simple:

Para f=x ⁿ → D(m,f)=Γ(n+1)/Γ(n+1-m)·x ^n-m;   

F(x)=x ⁵ y las derivadas 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1
F(x)=x ⁵ and the drerivatives 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 and 1

Un ejemplo sencillo sería con la / simple example with f(x)=x ⁴;

 f ^(1/2(x)=Γ(5)/Γ(4.5)·x ^3.5;   = (5/√π)·x ^3.5

Seno y coseno / Sine and cosine

f(x)=sen(x)^.;   f'=cos(x);  f''=-sen(x);   

O si se prefiere: or whether you prefer:

f(x)=sen(x)^.;   f'=sen(x+π/4);  f''=sen(x+2·π/4);   

f ^(m=sen(x-m·π/4);   

Ejemplos más complicados: / Examples more complicated:

Se toma una f(x), se obtiene la trnsformada de Taylor y se utiliza la regla de cada monomio:

We take a function f(x), we get the Taylor transform, and use the same rule for each monomial:

Véase: /  See

• http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor
• http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Inciso;Resolución de exponentes con números complejos:

Subsection; Resolution of complex numbers with complex exponents:

Antes de adentrarnos en solucionar funciones con raíces lo primeros es conocer como se resuelve un número complejo elevado a un exponente complejo:

Before going to solve functions with roots, the first is known how it is a complex number elevated a a complex exponent:

(a+bi)^(c+di)=e^(c·ln(√^{(a²+b²))-d·atn(b/a))}·[cos(c·atn(b/a)+d·ln(√(a²+b²))+i·sen(c·atn(b/a)+d·ln(√(a²+b²))]

En nuestro caso, casi siempre a<0, b=d=0 Lo cual simplifica a:
In our case, usually a<0 and b=d=0 Which simplifies to:

a^c=|a|^c·[cos(c·π)+i·sen(c·π)]

Dado que, As: tan(π) =  tan(0) = 0.

Ahora ya podemos dibujar la parte positiva y negativa de las funciones derivadas resultantes. Para ver como queda se edita el siguiente vídeo:

Now we can draw positive and negative part of the resulting derivative functions. To see how it is edited the following video:

Inciso; Subderivada de una constante / Subsection; Subderivative of a constant.

f(x)=k=k·x ^0.;

f ^(m=k·0!/(0-m)!·x ^-m;   

f ^(m=k·Γ(1)/Γ(1-m)·x ^-m;  

f ^(m=k/Γ(1-m)·x ^-m;  

Subderivada de / subderivative of e^x;

f(x)=e ^x.= 1+x+x ²/2!+x ³/3!+x ⁴/4!+x ⁵/5!+x ⁶/6! ...

f ^(m=1/Γ(1-m)·x ^0-m+Γ(2)/Γ(2-m)·x ^1-m+Γ(3)/Γ(3-m)·x ^2-m+Γ(4)/Γ(4-m)·x ^3-m+Γ(5)/Γ(5-m)·x ^3-m...

Un regalo. Las subderivadas del coseno hiperbólico:

A gift. The hiperbolic cosine subderivatives:

Todo esto ha sido más fácil hacerlo ahora con la ayuda de un ordenador e internet. Todos estos gráficos ya los hiciera hace 20 años con ayuda de una calculadora, un lápiz y un papel. Aún hoy no sé la utilidad de todo esto, pero estoy contento de saber que "no existe" es lo único que no existe en matemáticas.

All this has been easier to do now with the help of a computer and internet. All These graphs and I did 20 years ago with the help of a calculator, pencil and paper. Even today I don't know the usefulness of all this, but I am glad to know that "don't exist" is the only thing that does not exist in mathematics.

Si quieres utilizar el programa que he usado para crear estos dubujos descárgalos de aquí (hecho en VB6):
If you want use the program I have make to do this graphs, download form here (make with VB6):

Luis Nieto

Fractional continuous derivatives / Derivada continua y fracional

Partiendo del concepto de derivada:
On the basis of the concept of derivative:

Véase / See:

•       http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
•       http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative 

Se puede ver fácilmente que: / You can easily see: ∃ n ∈ N;  dⁿf(x)/(dn) ^n.

El cambio importante es hacer que n pase a format parte de los numeros reales, n ∈ R.

The significant change is to get that "n" becomes a real number, n ∈ R.

Primeros ejemplos sencillos / First simple examples

Monomios: / Monomials:

f(x)=x ^n.;   f'=n·x ^n-1.;      f''=n·(n-1)·x ^n-2;      f'''=n·(n-1)·(n-2)·x ^n-3.;      f''''=n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·x ^n-3;   

f ^(m=n!/(n-m)!·x ^n-m;   

F(x)=x ⁵ y sus sucesivas derivadas enteras.
F(x)=x ⁵  and itssuccessive integer derivatives .

Para poder pasar de [m ∈ N] a [m ∈ R]
We change [m ∈ N] to [m ∈ R]

f ^(m=Γ(n+1)/Γ(n+1-m)·x ^n-m;   

F(x)=x ⁵ y las derivadas 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1
F(x)=x ⁵ and the drerivatives 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 and 1

Donde la función Γ(n) es la función Gámma: 
Where Γ (n) function is the gamma function:

• http://es.wikipedia.org/wiki/Función_gamma 
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

Un ejemplo sencillo sería con la / simple example with f(x)=x ⁴; f ^(1/2(x)=Γ(1.5)/Γ(4.5)·x ^3.5;   

Seno y coseno

f(x)=sen(x)^.;   f'=cos(x);  f''=-sen(x);   

O si se prefiere: or whether you prefer:

f(x)=sen(x)^.;   f'=sen(x+π/4);  f''=sen(x+2·π/4);   

f ^(m=sen(x-m·π/4);   

Ejemplos más complicados: / Examples more complicated:

Se toma una f(x), se obtiene la trnsformada de Taylor y se utiliza la regla de cada monomio:
We take a function f(x), we get the Taylor transform, and use the same rule for each monomial:

Véase: /  See

• http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor
• http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Inciso;Resolución de exponentes con números complejos:

Subsection; Resolution of complex numbers with complex exponents:

Antes de adentrarnos en solucionar funciones con raíces lo primeros es conocer como se resuelve un número complejo elevado a un exponente complejo:
Before going to solve functions with roots, the first is known how it is a complex number elevated a a complex exponent:

(a+bi)^(c+di)=e^(c·ln(√^{(a²+b²))-d·atn(b/a))}·[cos(c·atn(b/a)+d·ln(√(a²+b²))+i·sen(c·atn(b/a)+d·ln(√(a²+b²))]

En nuestro caso, casi siempre a<0, b=d=0 Lo cual simplifica a:
In our case, usually a<0 and b=d=0 Which simplifies to:

a^c=|a|^c·[cos(c·π)+i·sen(c·π)]

Dado que, As: tan(π) =  tan(0) = 0.

Ahora ya podemos dibujar la parte positiva y negativa de las funciones derivadas resultantes. Para ver como queda se edita el siguiente vídeo:

Now we can draw positive and negative part of the resulting derivative functions. To see how it is edited the following video:

Inciso; Subderivada de una constante / Subsection; Subderivative of a constant.

f(x)=k=k·x ^0.;

f ^(m=k·0!/(0-m)!·x ^-m;   

f ^(m=k·Γ(1)/Γ(1-m)·x ^-m;  

f ^(m=k/Γ(1-m)·x ^-m;  

Subderivada de / subderivative of e^x;

f(x)=e ^x.= 1+x+x ²/2!+x ³/3!+x ⁴/4!+x ⁵/5!+x ⁶/6! ...

f ^(m=1/Γ(1-m)·x ^0-m+Γ(2)/Γ(2-m)·x ^1-m+Γ(3)/Γ(3-m)·x ^2-m+Γ(4)/Γ(4-m)·x ^3-m+Γ(5)/Γ(5-m)·x ^3-m...

Un regalo. Las subderivadas del coseno hiperbólico:

A gift. The hiperbolic cosine subderivatives:

Si quieres utilizar el programa que he usado para crear estos dubujos descárgalos de aquí (hecho en VB6):

If you want use the program I have make to do this graphs, download form here (make with VB6):

Luis Nieto