Exponencial vs. potencial. Cuiriosidades entre estas funciones

Partiendo de la siguiente función implícita:

y^x = x^y

El objetivo es buscar la función explícita de Y aparte de la más obvia Y(x)=X.
Para ello se van a empezar estudiando las soluciones de 0 = y^x - x^y para distintos valores de y.

Sea y = 2^x - x²

Sea y = 3^x - x³

Sea y = 4^x - x⁴

Con suficiente paciencia podremos ir obteniendo el doblete (a veces, triplete) de soluciones de las distintas ecuaciones:

La solución 2, resulta ser muy interesante. Se cortan en el punto donde el valor es "e"
Con ello,sabemos que el valor de esa función buscada en e es e. F(e)=e.
Al ser una función simétrica en el eje y=x se puede saber que su derivada en este punto es -1.
La segunda derivada, +1,la tercera -1, etc

F(e)=e     

F'(e) = -1   

F''(e) = +1  

F'''(e) = -1  

F''''(e) = +1 

...

Con ello, aunque no tengamos la función se podría buscar su desarrollo de Taylor.

Sin embargo, al observar su forma hiperbólica resulta inquietante que la siguiente función produzca una aproximación tan eficiente:

y+1 = (e-1)² / (x-1)

Resulta entonces inquietante la relación aproximada entre estas dos expresiones:
                

y^x = x^y  (en rojo)

(y+1)(x-1) = (e-1)² (en verde)