TU ANUNCIO / YOUR PUBLICITY

AQUÍ PODRÍA ESTAR TU ANUNCIO: / HERE COULD BE YOUR AD E-mail

viernes, 8 de diciembre de 2017

Ampliación a la serie de Fibonacci. Raíces triples ... y más.

Sea la serie recursiva:
fn = 6·fn-1  – 12·fn-2  + 8·fn-3 

Aplicando nuestro método se buscarán las raíces de:
x3 – 6·x2 + 12·x – 8 = 0

Que son:
r1,2,3 = 2

Si intentamos buscar el término general este no podrá ser:
fn = A2n + B2n+ C2n

Dejo al lector ver que se trata de otra tontería (como en el artículo anterior)

Aplicando el método inductivo:


fn = [A(n-1)(n-2)]·rn+[Bn(n-1)]·r(n-1)+[Cn(n-2)]·r(n-2)

Dejamos al lector que vea que la siguiente formulación es equivalente: 
fn = A·rn+Bn·r(n-1)+Cn(n-1)·r(n-2)

(Evidentemente los coeficientes A, B y C variarán)

Un nuevo punto de vista:


Está claro que para dos raíces diferentes pero muy cercanas:
r1 = r ,, r2 = r + Δr
Implicaría que:
fn = A·rn +B·(r+Δr)n

Si Δr0, está claro que estaríamos jugando con el concepto de derivada:
fn = A·rn +{B·(r+Δr)B·rn} + B·rn

Y, por lo tanto
fn = (A+B)·rn +B·nr(n-1)


Y, si los coeficientes lod determinamos después:
fn = A·rn +B·nr(n-1)

Y, si cambiamos B por B·r:
fn = A·rn +B·nrn

Para raíces triples:
fn = A·rn +B·nrn+C·n2rn 

Para raíces de grado k:

fn = ΣAj·njrn . j [0..k]

En este punto hemos unido las series aritméticas recursivas, los polinomios, sur raíces y la conexión entre raíces dobles, triples etc. con las derivadas.

miércoles, 6 de diciembre de 2017

Ampliación a la serie de Fibonacci. Raíces dobles.

Raíces dobles.

Sea la serie recursiva:

fn = 2·fn-1 – fn-2

Aplicando nuestro método se buscarán las raíces de:

x2 – 2·x + 1 = 0

Que son:

r1,2 = 1

Si intentamos buscar el término general este no podrá ser:

fn = A1n + B1n

Dejo al lector ver que se trata de una evidente tontería.

Si viéramos la serie veríamos que, sin embargo esta debería ser muy sencilla. Veamos un apr de ejemplos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
1, 3, 5, 7, 9, 11, …
a, b, 2b-a, 3b-2a, 4b-3a, … n·a-(n-1)b . Mucho más sencillo ¿no?

Pero compliquémonos un poco más, siendo más generalistas:

Si,
 (x-r)(x-r)= x2-2r+r2
implicaría que:
 fn = 2r·fn-1 – r2fn-2

que tendría a r como raíz doble

a, b, 2rb-ar2, 3r2b-2ar3, 4r3b-3ar4, … , n·r(n-1)b - (n-1)·arn

Con a y b como f0 y f1:


fn = [nf1] ·r(n-1)  - [(n-1)f0] · rn

Interesante y diferente a la solución general con raíces diferentes: 


fn = A·r1n  - B· r2n

Obsérvese el exponente (n-1) en vez del exponente n esto será muy interesante en los próximos artículos.