Una pregunta sería si existe alguna operación aparte de las conocidas.
Si se empezara, por ejemplo con tres dimensiones podríamos inventar tres (o cuatro según se mire). En teoría habría más posibilidades pero serían simples variaciones de orden. (usaremos el símbolo "¤")
1: (A, B, C) ֎ (c, a, b) = (Aa+Bc+Cb, Ab+Ba+Cc, Ac+Bb+Ca)
2: (A, B, C) ֎ (c, a, b) = (Aa+Bb+Cc, Ac+Ba+Cb, Ab+Bc+Ca)3: (A, B, C) ֎ (c, a, b) = (Aa+Bb+Cc, Ab+Bc+Ca, Ac+Ba+Cb)
4: (A, B, C) ֎ (c, a, b) = (Aa+Bc+Cb, Ac+Bb+Ca, Ab+Ba+Cc)
El caso 1: Si se cambia el orden de los operandos resulta la misma solución. Es simétrica.
El caso 2. Si se cambia el orden de los operandos resulta el caso 3 y viceversa.
El caso 4: Al igual que en el caso 1, resulta un operador simétrico.
Solo en el caso 1 hay posibilidad de tener un elemento neutro. El (1, 0, 0)´
Se podría visualizar la operación con multiplicaciones de matrices si el segundo operando se transformara en una matriz con ciertas simetrías:
Esto ayudará a la hora de definir el operador para más dimensiones.
Dejo al lector la demostración de que también se puede aplicar la propiedad distributiva con respecto a la suma.
Se tendrían pues, al igual que en caso de los vectores la operación con los vectores (1, 0, 0), (0,1,0) y (0,0,1) para entender su significado.
(a, b, c) ֎ (1, 0, 0) = (a, b, c)
(a, b, c) ֎ (0, 1, 0) = (c, a, b)
(a, b, c) ֎ (0, 0, 1) = (b, c, a)
Con lo que sale la matriz equivalente al operador. Como no podría ser de otra manera.
Para 4 dimensiones resulta más complicado ver las posibilidades.
Continuará....
