Intercalando conjuntos entre los números enteros y racionales. ¿Qué hay entre ℤ y ℚ? ¿Y entre Ø y ℤ?

 Conjuntos intercalables entre ℤ (enteros) y ℚ (racionales). Y entre Ø y ℤ.

La primera pregunta es ¿habría algún(os) conjunto(s) que pueda(n) situarse entre el conjunto de los números enteros y los racionales? La respuesta es sí. Se podría definir, por ejemplo ℙ(2) como aquel formado por los números que se puedan designar como {(2·m+1)·2^k} siendo [m, k]∊ℤ. Así pues, los números 6 ,-5 ó 11/4 formarán parte de ℙ(2).

También podría definirse como p ∊ ℙ(2), si p=r·2^k siendo r(impar)∊ℤ y k ∊ℤ.

De esta manera: ℤ ⊂ ℙ(x)  ⊂ ℚ.

Propiedades respecto a la suma:

Elemento neutro respecto a la suma:

0 ∊ ℙ(2); r·2^k + 0 = r·2^k.

Inverso respecto a la suma:

r·2^k - r·2^k = 0

Elemento neutro respecto a la multiplicación:

r·2^k · 1 = r·2^k.

Inexistencia siempre de elemento neutro respecto a la multiplicación:

Mejor con un contraejemplo: 3/2·x=1; x tendría que ser igual a 2/3 pero 2/3 ∉ ℙ(2).

Propiedad asociativa entre (+,·):

(r·2^u  + q·2^v ) s·2^k = (r·2^u+v-v  + q·2^v) s·2^k =

= (r·2^u-v · r·2^v + q·2^v) s·2^k =

= (r·2^u-v +1)(r+q) ·2^v s·2^k = ; Si u+v> 0 (si no es así se hace el paralelismo cambiando u por v) está claro que  (r·2^u-v +1)(r+q)·s= t ∊ℤ

= t·2^v+k y v+k t ∊ℤ. c.q.d.

Continuidad entre dos números.

Esta es un poco más difícil de demostrar pero siempre se encontrará un numero p 0 ∊ ℙ(2) que cumpla r>p>s para dos números r y s cualquiera que pertenezcan a ℙ(2). Se verá más adelante un fácil demostración.

Notación decimal y conjunto ℙ:

Es mas fácil ver todo esto desde el punto de vista de la notación decimal (o binaria si se está con ℙ(2). Por ejemplo ½ se puede poner como 0,1 en notación binaria 3/8|₁₀ =11/100|₂ =0,11|₂ .

Si se quisiera encontrar el número más cercano a 1/3 en ℙ(2) sería fácil deducirlo de la forma ∑2^-2n  |₁₀ =1+ 1/4 + 1/16+ 1/64 +… = 1 + 0,01+0,0001+0,000001+… |₂ = 1,01 01 01...|₂ Como el número real de decimales necesario es infinito (un periodo) se concluiría que 1/3 ∉ ℙ(2).

Más común de lo que se podría pensar es ℙ(10), ya que es forma habitual de escribir números, en base 10. Así por ejemplo 3/25 = 0,12 = 1/10 + 2/100=12/100 = 12·10²

Más difícil de demostrar es que ℙ(2) ∪ ℙ(5) ≡ ℙ(10). Cualquier número m2^p·n5^q= (si p>q) m2^p-q·2^q·n·5^p=(m2^p-q·n)2^p5^p = r·10^p ∊ ℙ(10). c.q.d. De igual manera ℙ(α) ∪ ℙ(β) = ℙ(αβ). (véase conclusión final).

Como siempre, a cualquiera le gusta ir al ∞. ℙ(p₁) ∪ ℙ(p₂) ∪ ℙ(p₃) ∪ … = ℛ. (donde p_i son los diferentes números primos) Es decir, todos, el conjunto de conjuntos ℙ forman el conjunto de números reales. Es decir, se saltaría la primera limitación: ℤ ⊂ ℙ(z) ⊂ ℚ. Pero estas son las cosas que suelen pasar cuando se juega con el infinito. Aún así, seguirá sin tener inverso de la multiplicación ante cualquier número ese conjunto de conjuntos de ℙ.

Respecto al tema de la continuidad, ahora resulta trivial demostrarlo con la notación decimal en base 10 (o sea, ℙ(10)). Ante un par de números ℙ, por ejemplo, entre 3,2345 y el 3,2346 siempre habrá un número infinito de números como el 3,23455, el 3,2345000001 , etc. Todos los que se quiera.

Un paso más allá.

Sea el conjunto de todos los ℙ. ante los operadores {Ս, Ռ}. ¿Cuáles serán sus propiedades?. Esto da para una nueva entrada. 

¿Qué es un  ℙ con una base fraccionaria? es decir ¿Qué es ℙ(2/3)? se deja al lector la demostración de que  ℙ(2/3) = ℙ(2) ∪ ℙ(3) = ℙ(6).

Pero... y ℙ con una base irracional. ¿ℙ(π)? ¿Qué es?

ℙ(0) = {0}

ℙ(1) = ℤ

¿Cómo queda ordenado? ¿y entre Ø y ℤ?

  Ø ⊂ ℙ(0) ⊂ ℙ(1) ≡  ℤ ⊂ ℙ(2) ⊂ ℙ(2·3) ⊂ ℙ(2·3·5) ⊂ ℙ(2·3·5·7) ⊂ ....  ⊂  ℚ

Se puede comprobar que si se define ℳ(m)={m·k} con k ∊ℤ.

Quedaría:

 Ø ⊂ ℳ(0) ≡  ℙ(0);

ℙ(0) ⊂ ... ⊂ ℳ(2·3·5·7) ⊂ ℳ(2·3·5) ⊂ ℳ(2·3) ⊂ ℳ(2) ⊂ ℳ(1) ≡  ℙ(1) ≡  ℤ ;

ℤ ⊂ ℙ(2) ⊂ ℙ(2·3) ⊂ ℙ(2·3·5) ⊂ ℙ(2·3·5·7) ⊂ ....  ⊂  ℚ.

Se deja al lector comprobar el curioso orden de inclusión de los conjuntos ℳ.

Nota: de ha optado por un orden creciente de los números primos 2, 3, 5, 7,... Se podría poner otro. Sólo es necesario que se vayan incrementando en cada escalón.

Nota 2: ¿Qué conjuntos podrían estar entre ℚ y ℝ? Una pista: debe aparecer el inverso con respecto al operador multiplicación.