Transmutación de funciones. Polinomios de escala

Como íbamos viendo del punto anterior:

T_e=E₁(e)f₁(x)+ E₂(e)f₂(x)+ E₃(e)f₃(x)+ E₄(e)f₄(x)+… = Σ E_i(e)f_i(x)

Es define E_i,g(e) Polinomio de escala de grado “g” para f_i(x).

Lo único que tienen que cumplir es que E_i,g(e)=1 si e=g; y E_i,g(e)=0 si e≠g;

Para ello vamos a empezar desde lo más fácil:

E_1,0(e) = 1

E_1,1(e) = -(e-2) = -e +2

E_1,2(e) = 1/2(e-2)(e-3)= 1/2e²-5/2e+3

E_1,3(e) = (-1/6)(e-2)(e-3)(e-4)

E_1,4(e) = (1/24)(e-2)(e-3)(e-4)(e-5)

E_1,g(e) = ((-1)^g/g!)(e-2)(e-3) … (e-g)

E_2,0(e) = No existe

E_2,1(e) = (e-1)

E_2,2(e) = -(e-1)(e-3)

E_2,3(e) = (+1/2)(e-1)(e-3)(e-4)

E_2,4(e) = (-1/6)(e-1)(e-3)(e-4)(e-5)

E_2,g(e) = ((-1)^(g-1)/(g-1)!)(e-1) (e-3) (e-4) … (e-g)

E_i,g(e) = K_i,g · (e-1)(e-2) … (e-(i-1))(e-(i+1)) … (e-g) 
y ... se calcula K_i,g para que E_i,g(e)=1 si e=g; (para el resto de valores es obviamente 0)

NOTA IMPORTANTE: en este punto hay que darse cuenta de que no necesitamos conocer ninguna f_i(x).

Tabla de coeficiente K hasta grado 10:

Pronto calcularemos inversas partiendo de Matrioskas...