Cálculo de la función inversa partiendo de transmutaciones de matrioskas

Dada una función f(x) nos proponemos encontrar la función inversa f^-1(x) utilizando la transmutación de matrioskas de f(x)

La sucesión de matrioskas sería:

M₀(x)=x; M₁(x)=f(x); M₂(x)=f(f(x)); M₃(x)=f(f(f(x))); ….

Partiendo de la idea de transmutación de funciones:

Me(x)=P₀(e)·M₀(x)+ P₁(e)·M₁(x)+ P₂(e)·M₂(x)+…+ P_n(e)·M_n(x)

Dado que M_-1(x) = f^-1(x) → 

→ f^-1(x) = M_-1(x) = M_-1 (x)=P₀(-1)·M₀(x)+ P₁(-1)·M₁(x)+ P₂(-1)·M₂(x)+…+ P_n(-1)·M_n(x)

Esta aproximación será más exacta cuanto mayor sea al numero n;

Ejemplo  f(x)=seno(x)

Lo mejor será ver un ejemplo

Sea f(x)=seno(x)

Con dos matrioskas M₀; M₁

Con tres matrioskas M₀; M₁; M₂

Con tres matrioskas M₀; M₁; M₂; M₃

Con cuatro matrioskas M₀; M₁; M₂; M₃; M₄

¿Cuanto mayor sea el conjunto de matroskas, menor será el error?

¿Podemos cuantificar inicialmente el error?

¿Es necesario calcular los polinomio P0(e) ...Pn(e) o bastaría con saber los valores P0(-1) ...Pn(-1)?

¿Para cada una de las aproximaciones habrá un valor que e=-1 con el que se obtenga un menor error?. Si es así ¿Por qué?

¿Todos estos cálculos son realmente indiferentes a f(x)?

¿Cómo se adapta a la completitud de la función en el campo complejo?

Estas cuestiones las iremos resolviendo en las próximas entregas,