Sea la serie recursiva:
fn = 6·fn-1 –
12·fn-2 + 8·fn-3
Aplicando nuestro método se buscarán las
raíces de:
x3 – 6·x2 +
12·x – 8 = 0
Que son:
r1,2,3 = 2
Si intentamos buscar el término general
este no podrá ser:
fn = A2n +
B2n
Dejo al lector ver que se trata de otra
tontería (como en el artículo anterior)
Aplicando el método inductivo:
Dejamos al lector que vea que la siguiente formulación es
equivalente:
fn = A·rn+Bn·r(n-1)+Cn(n-1)·r(n-2)
(Evidentemente
los coeficientes A, B y C variarán)
Un nuevo punto de vista:
Está claro
que para dos raíces diferentes pero muy cercanas:
r1 = r ,, r2 =
r + Δr
Implicaría
que:
fn = A·rn +B·(r+Δr)n
Si Δr→0, está claro que estaríamos jugando con el concepto de derivada:
fn =
A·rn +{B·(r+Δr)n - B·rn} + B·rn
Y, por lo
tanto
fn = (A+B)·rn +B·nr(n-1)
Y, si los
coeficientes lod determinamos después:
fn = A·rn +B·nr(n-1)
Y, si cambiamos
B por B·r:
fn = A·rn +B·nrn
Para raíces
triples:
fn =
A·rn +B·nrn+C·n2rn
Para raíces
de grado k:
fn = ΣAj·njrn . j ∈ [0..k]
En este
punto hemos unido las series aritméticas recursivas, los polinomios, sur raíces
y la conexión entre raíces dobles, triples etc. con las derivadas.
