Tríángulo. La línea trivial:
Dados tres puntos (para hacerlo estéticos, que sean equiespaciados) ¿Cuántas formas hay de que estos puntos los recorra una línea cerrada? La respuesta es trivial: una.
Cuadrado. Solución fácil:
Dados cuatro puntos (igualmente equiespaciados) ¿Cuántas formas hay de que estos puntos los recorra una línea cerrada? La respuesta es fácil: 2.
Las variantes por simetría son 1+2=3=(4-1)!/2
Pentágono. Solución sencilla:
La respuesta es sencilla: 4.
Las variantes por simetría son 1+5+5+1=12=(5-1)!/2
Hexágono:
La respuesta es 12.
Las variantes por simetría, siguiendo el orden del dibujo: 1+6+3+6+2+6+3+12+6+6+3+6=60=(6-1)
!/2
Heptágono:
La respuesta es 39: Esta vez se ha ido de forma más ordenada para no perderse:
El número pequeño bajo la figura explica el orden. El número grande, las variantes por giro (7 si son simétricas, 14 por asimetría, 1, por total simetría.) Todo suma 360=(7-1)!/2
Termino general
No se explicará aquí como se deduce el término general pero se expone a continuación:
Para 3: 1
Para 4: 4
Para 5: (4+2) x 2 = 12
Para 6: (12+1) x 3 = 39
Para 7: (39+2) x 4 = 164
Para 8: (164+1) x 5 = 825
Para 9: (825+2) x 6 = 4962
....
Para n: (an-1 + {1 o 2}) x (n3)-
Nota: +2 cuando es impar y +1 cuando es par
