Historia de una línea cerrada uniéndose a vértices de un polígono regular.

 Tríángulo. La línea trivial:

Dados tres puntos (para hacerlo estéticos, que sean equiespaciados) ¿Cuántas formas hay de que estos puntos los recorra una línea cerrada? La respuesta es trivial: una.

Cuadrado. Solución fácil:

Dados cuatro puntos (igualmente equiespaciados) ¿Cuántas formas hay de que estos puntos los recorra una línea cerrada? La respuesta es fácil: 2.

Las variantes por simetría son  1+2=3=(4-1)!/2

Pentágono. Solución sencilla:

La respuesta es sencilla: 4.

Las variantes por simetría son  1+5+5+1=12=(5-1)!/2

Hexágono:

La respuesta es 12.

Las variantes por simetría, siguiendo el orden del dibujo: 1+6+3+6+2+6+3+12+6+6+3+6=60=(6-1)

!/2

Heptágono:

La respuesta es 39: Esta vez se ha ido de forma más ordenada para no perderse:

El número pequeño bajo la figura explica el orden. El número grande, las variantes por giro (7 si son simétricas, 14 por asimetría, 1, por total simetría.) Todo suma 360=(7-1)!/2

Termino general

No se explicará aquí como se deduce el término general pero se expone a continuación:

Para 3:                           1 

Para 4:                           4

Para 5:     (4+2) x 2    = 12

Para 6:     (12+1) x 3  = 39

Para 7:    (39+2) x 4   = 164

Para 8:    (164+1) x 5 = 825

Para 9:    (825+2) x 6 = 4962

 ....

Para n:     (a_n-1 + {1 o 2}) x (n3)-

Nota: +2 cuando es impar y +1 cuando es par