Tunaritmos: The changeless tirhd derivative / La inmutable tercera derivada

Era el año 1987 cuando me hice una pregunta ¿Cual sería la función cuya tercera derivada fuera ella misma?. Todo el mundo sabía que d(e^x)/dx=e^x. Que d²(Sh(x))/d²x=Sh(x) y d²(Ch(x))/d²x=Ch(x). Pero ¿cuales son el trío de funciones que d³(Tn(x))/d³x=Tn(x) .

Les di un nombre, Tunaritmos. No recuerdo porqué. Supongo que tendría una razón para ello. Me dispuse a deducirlas.

It was 1987 when I asked myself: What would be the function whose third derivative was herself ?. Everyone knew that d(e^x)/dx=e^x, and that d²(Sh(x))/d²x=Sh(x) y d²(Ch(x))/d²x=Ch(x). But, what are the trio of functions that d3 (Tn (x)) / d3x = Tn (x).

I gave them a name, Tunaritmos. I do not remember why. I guess I'd have a reason for it. I started to deduct.

Pensando un poco imaginé cual sería la serie de Taylor que tendrían:

With a little thought, I figured that would be the Taylor series that would have them:

      Tni(x) = 1 + x³/3! + x⁶/6! + x⁹/9! + ... + x³ⁿ/(3n)!

      Tnj(x) = x²/2! + x⁵/5! + x⁸/8! + ... + x³ⁿ⁺²/(3n+2)!

      Tnk(x) = x/1! + x⁴/4! + x⁷/7! + x¹⁰/10!+ ... +x³ⁿ⁺¹/(3n+1)!

De tal forma que / Compliant to: 

           

                          Tni(x) + Tnj(x) + Tnk(x) = e^x .

APLICANDO LAPLACIANOS

Se sabe que: It is know that:  d³(Tn(x))/d³x=Tn(x)

              Tni(0) = 1.

              Tnj(0) = 0.

              Tnk(0) = 0.

L(y) = L(y''') = p³L(y) – p²y_{0 –} py₀' – py₀'' →

     → L(y)[1-p³] = -p² →

     → Tni(x) = [e^x +2e^-x/2·cos(√3x/2)]/3

De igual manera. Similarly:

  L(y)[1-p³] = - 1 → Tnj(x) = [e^x -e^-x/2·( cos(√3x/2) + √3sen(√3x/2))]/3

 L(y)[1-p³] = - p → Tnk(x) = [e^x -e^-x/2·( cos(√3x/2) - √3sen(√3x/2))]/3

Pensando un poco más, la solución general que satisface: d³(Tn(x))/d³x=Tn(x) es:

Thinking a little more, the general solution that satisfies d³(Tn(x))/d³x=Tn(x) is:

     T(x) = k₁·e^x + k₂·e^{(-1/2 +√3i)x} + k₃·e^{(-1/2 -√3i)x}

Or with:  a=(-1/2 +√3i) and b=(-1/2 -√3i)

Tni(x) = 1/3 · (e^x + e^ax + e^bx)

Tnj(x) = 1/3 · (e^x + ae^ax + be^bx)

Tnk(x) = 1/3 · (e^x + be^ax + ae^bx)

Nota / Note:  1,a & b son las raices de / Are the roots of ³√1=1.

LAS GRÁFICAS DE LOS TUNARITMOS

Para valores negativos: For negative values:

Para valores positivos: For positiv values

Falta el saber la utilidad. I do not know its usefulness.

De aquí saltaremos a los triplejos. Complejos de tres dimensiones.

Al igual que existen números complejos : a+bi, por ejemplo. Crearemos los triplejos : a+bi+cj. Pero esos será otra historia.

From here jump to the 3-complex. Imaginary numbers with three dimensions.

There are imaginary numbers as the way (a + bi), for example. We will create the 3complex: a + bi + cj. But those will be another story.

Os dejo un enlace con una hoja de cálculo (en LibreOffice) para obtener estas gráficas:
I leave a connection to a spreadsheet (in FreeOffice) for these graphs:

https://www.dropbox.com/s/acg57ttyldj7bvp/tunaritmos.ods?dl=0