NÚMEROS ABC (Operador ֎) Nuevo operador de vectores. La función exponencial y logarítmica

    (Operador ֎) LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

2D:

El primer reto es averiguar el valor de, por ejemplo, 2^(a,b) = (c,d).

Primero se recuerda el desarrollo de Taylor de otras funciones conocidas:

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3!+… xⁿ/n!

ch(x) = 1 + x²/2! + x⁴/4!+… x^par/par!

sh(x) = x/1! + x³/3!+… x^impar/impar!

Otras propiedades del los números ABC son:

(a, b) = (a, 0) + (0, b)

(a, 0)ⁿ = (aⁿ,0)

(0, b)² = (b², 0), (0, b)³ = (0, b³), (0, b)⁴ = (b⁴, 0),… (0, b)^impar = (0, b^impar), (0, b)^par = (b^par, 0)

Y como :

2^(a,b) = 2^(a,0) · 2^(0,b)

Se concluye:

2^(a,b) = e^a·ln(2)(ch(b ln(2)), sh(b ln(2)) 

Para el caso más simple de la exponencial de "e":

e^(a,b) = e^a(ch(b), sh(b)).

Este recuerdo "parecido" a los números complejos dará que pensar.

En este caso hallar la función logaritmo partiendo de la función exponencial anterior es "sencilla" y su resultado es:

ln(a, b) = (ln((a² – b²)^1/2), ath(b/a))

Gracias a los logaritmos es sencillo hallar un cálculo a un exponente cualquiera:

(a, b)^p = exp((1/p) · ln(a, b)) 

NOTA: Con este sistema tiene que cumplirse que b sea mayor que a para poder huir del cálculo complejo. Más adelante, con tiempo se verá la conexión del mundo real del los números ABC con la parte imaginaria del conjunto C y, a su vez la parte imaginaria del conjunto ABC con la parte real del conjunto C.

Por otro lado, se analizarán lo que sucede con número ABC de 3D y más.

3D:

Para el caso: e^(a,b,c) = e^a(tni(b), tnj(b), tnk(c)).

Donde las funciones tni, tnj y tnk son descritas en:

https://carreteras-laser-escaner.blogspot.com/2014/11/tunaritmos-changeless-tirhd-derivative.html

      Tni(x) = 1 + x³/3! + x⁶/6! + x⁹/9! + ... + x³ⁿ/(3n)!

      Tnj(x) = x²/2! + x⁵/5! + x⁸/8! + ... + x³ⁿ⁺²/(3n+2)!

      Tnk(x) = x/1! + x⁴/4! + x⁷/7! + x¹⁰/10!+ ... +x³ⁿ⁺¹/(3n+1)!

4D:

Para el caso: e^(a,b,c,d) = e^a(p(b), q(b), r(c), s(d)).

 Donde:

p(x) = 1 + x⁴/4! + x⁸/8! + x¹²/12! + ... + x⁴ⁿ/(4n)! = (ch(x)+ch(-x))/2

q(x) = x¹/1! + x⁵/5! + x⁹/9! + ... + x⁴ⁿ⁺¹/(4n+1)!    =(sh(x)+ sh(-x))/2

r(x) = x²/2! + x⁶/6! + x¹⁰/10! + ... +x⁴ⁿ⁺²/(4n+2)!   =(ch(x)-ch(-x))/2

s(x) = x³/3! + x⁷/7! + x¹¹/11! + ... +x⁴ⁿ⁺³/(4n+3)!   =(sh(x)-sh(-x))/2

NOTA: Para más dimensiones habría que ir troceando de igual manera el desarrollo de Taylor de la función exponencial.

NOTA 2: La simplicidad de la solución de la exponencial es debida a la facilidad de separar el exponente como suma de exponentes: 2^(a,b) = 2^(a,0) · 2^(0,b). Sin embargo para la función potencial el camino es tedioso para el caso de (a, b, c…) ⁿ . Difícil cuando n no sea entero sino fraccionario o real y muy complicado para (a, b, c…) ^{(p, q, r, ...)} . Además, nadie dice que (a, b, c…) tenga que tener la misma dimensión que (p, q, r, ...) ni cual debe de ser la dimensión del destino.

NOTA 3: La función logarítmica de 3D, 4D, etc es un poco más complicada y exige la creación de nuevas funciones. Ya habrá tiempo de hablar de ello.