GPR (Geo-radar). Discovering pipes / Descubriendo tuberías (IX)

Investigación de Enmacosa dentro del proyecto "APLICACIÓN DE SENSORES RADAR PARA DETECTAR Y EVALUAR EL ESTADO DEL PAVIMENTO Y LA RED DE TUBERÍAS Y SERVICIOS EN EL SUBSUELO URBANO", cofinanciado por la Xunta de Galicia (2001-2004). 

Continúa de: GPR (Geo-radar). Discovering pipes / Descubriendo tuberías (VIII)

Introducción

Capítulo 1: FUNDAMENTOS TEÓRICOS

1.1 Leyes de Maxwell

1.2 Parámetros electromagnéticos de un medio

1.2.1 Conductividad (σ)

1.2.2 Permitividad dieléctrica (ε)

1.2.3 Permeabilidad magnética ( μ )

1.3 Propagación de una onda electromagnética

1.4 Parámetros efectivos

1.5 Impedancia de un medio

1.6 Profundidad nominal de penetración (skin depth)

1.7 Reflexión y transmisión de ondas electromagnéticas

1.8 Pérdidas de energía por procesos internos al medio

1.8.1 Dispersión geométrica del frente de ondas

1.8.2 Absorción

1.8.3 Dispersión de la energía (“scattering”)

1.9 Capacidad de penetración. Ecuación radar

1.10 Capacidad de resolución y zona de influencia

Capítulo 2: CARACTERÍSTICAS DE LOS EQUIPOS GPR

2.1 Origen y desarrollo del GPR

2.2 Características de los equipos

2.2.1 Unidad de control

2.2.2 Parámetros de un registro

2.2.3 Antenas

2.2.4 Accesorios

2.2.5 Equipos complementarios

2.4 Equipos del mercado

2.4.1 Equipos de propósito general

2.4.2 Equipos adaptados al estudio de carreteras

2.4.3 Equipos exclusivamente destinados a la detección de tubos y tuberías

2.5 Presentación de resultados

Capítulo 3: DETECCIÓN DE REDES DE SERVICIOS EN ENTORNOS URBANOS

3.1 Consideraciones sobre tipos de servicios, tipos de suelos y antenas utilizadas

3.2 Aparición de eventos hiperbólicos en los registros

3.3 Otros factores relacionados con la naturaleza y tamaño de los reflectores

3.4 Consideraciones sobre la polaridad de la señal recibida

3.5 Determinación de la velocidad de propagación de la onda

3.6 Ejemplos de estudios realizados

Capítulo 4: EVALUACIÓN DE PAVIMENTOS

4.1 Aplicaciones

4.1.1 Medición del espesor del pavimento

4.1.2 Control de calidad en nuevas construcciones

4.1.3 Estudio de daños

4.2 Diseño del remolque

4.2.1 Introducción

4.2.2 Descripción técnica

4.3 Ejemplos de registros obtenidos

Conclusiones

Bibliografía

3.3 OTROS FACTORES RELACIONADOS CON LA NATURALEZA Y TAMAÑO DE LOS  REFLECTORES.

El tamaño del reflector y la longitud de onda de la señal empleada mantienen una estrecha relación. En general se admite (Davids & Annan, 1989) que objetos de dimensiones inferiores a media longitud de onda son de difícil detección con GPR. Afortunadamente, esta regla no se cumple cuando el reflector está constituido por materiales conductores, tal es el caso de cables o armaduras que constituyen excelentes reflectores sobre todo con el uso de antenas de mayor frecuencia. En algunos estudios como el que llevado a cabo por Lorenzo (1996) se da un ejemplo de caso límite donde se pudo observar la presencia de un serie de hilos de cobre de unos pocos mm de diámetro entre las capas constituyentes de un firme de carreteras,  utilizando para ello una antena de 900 MHz. Siguiendo el criterio propuesto y tomando un valor de la permitividad elevado, acorde con los valores tabulados, que proporcione una mayor resolución (e = 16), se obtiene que la mínima dimensión detectable en este caso sería de 4 cm, con lo que este ejemplo nos da una idea de las particularidades que puede presentar un estudio dependiente de un medio tan heterogéneo. 

La naturaleza del reflector constituye un factor discriminante que puede en muchos casos explicar las diferencias existentes entre los registros obtenidos en reflectores de similar geometría. Así, por ejemplo, la reflexión que provoca una tubería de PVC vacía es diferente de la provocada por una tubería metálica, y no solo por la magnitud de la señal reflejada. Las propiedades electromagnéticas del metal provocan que la totalidad de la señal que la alcanza sea devuelta hacia la antena receptora; es por esto que elementos situados bajo la antena receptora no pueden ser detectados por el geo-radar. Por su parte, una tubería de PVC vacía, o llena de agua, provoca una primera reflexión en el contacto suelo – aire/agua y una segunda en el contacto aire – agua/suelo tal como se pone de manifiesto en el registro realizado por Ulriksen (1982) recogido en la  figura 7

The reflector size and the wavelength of the signal used have a close relationship. Overall (Davids & Annan, 1989) admits that objects are smaller than half a wavelength are difficult to detect with GPR. Fortunately, this rule does not hold when the reflector consists of conductive materials, as in the case of cables or fittings that are excellent reflectors especially with the use of higher-frequency antennas. In some studies such as that performed by Lawrence (1996) An example of a borderline case where we observed the presence of a series of copper wires of a few mm in diameter between the constituent layers of a road sign is given, using an 900 MHz antenna. following the proposed approach and taking a high value of permittivity, according to the tabulated values​​, which provides higher resolution (e = 16), we obtain that the minimum detectable dimension in this case would 4 cm, so that this example gives an idea of the features that can present a dependent study of a heterogeneous medium. 


The nature of the reflector is a discriminating factor that can in many cases explain the differences between records obtained reflectors similar geometry. For example, the reflection causes a PVC pipe blank is different from that caused by a metal pipe, and not only by the magnitude of the reflected signal. The electromagnetic properties of the metal causes the entire signal that is returned to reach the receiving antenna; is why elements below the receiving antenna can not be detected by the geo-radar. Meanwhile, a PVC pipe empty, or filled with water, causing a first reflection on the floor contact - air / water and a second contact in the air - water / ground as evidenced by the record made ​​by Ulriksen (1982) indicated in figure 7

Figura 7 Además de la reflexión de la parte superior de la tubería se observa una segunda reflexión proveniente del fondo de la misma 

Figure 7 also to the reflection of the top of the pipe a second reflection is observed from the bottom thereof

Gracias a la aparición de esta segunda reflexión, es posible, midiendo el retraso entre ambas reflexiones, conocer el diámetro de la tubería, ya que la velocidad de propagación de las ondas en el aire o en el agua es bien conocida, analizando la polaridad de la reflexión se puede estimar si procede de una o de otra (esto se verá con mas detalle en el siguiente apartado). El problema se complica en el caso de que la tubería esté parcialmente llena, pues aparecen reflexiones intermedias aire – líquido que habitualmente  solapan y enmascaran la reflexión de la base de la tubería.

Un problema similar sucede cuando el diámetro de la tubería es pequeño en comparación con la duración de la señal en el tiempo. La duración del impulso más corto emitido por las antenas de georadar es del orden de 0.5 a 2 nseg. Esto significa que si el diámetro es tal que la segunda reflexión se produce en un lapso de tiempo inferior a la mitad del impulso ambas reflexiones interferirán constructiva o destructivamente, dificultando la interpretación. 

Thanks to the appearance of the second reflection, it is possible, by measuring the delay between the two reflections, knowing the diameter of the pipe, since the speed of propagation of the waves in the air or water is well known, by analyzing the polarity of reflection can be estimated if it comes from one or the other (this will be discussed in more detail in the next section). The problem is compounded in the case where the pipe is partially filled, since intermediate reflections appear air - liquid which usually overlap and the reflection mask of the base pipe. 
A similar problem occurs when the pipe diameter is small compared to the duration of the signal in time. The shortest duration pulse from the GPR antenna is about 0.5 to 2 ns. This means that if the diameter is such that the second reflection occurs in a period of less than half the pulse both reflections will interfere constructively or destructively time, making interpretation difficult.

Figura 8 La reflexión de la parte inferior de la tubería se superpone a la reflexión proveniente de la parte superior de la misma. 

Figure 8 The reflection of the bottom of the pipe overlaps the reflection from the top thereof.

El diámetro de la tubería de la figura 7 es de 30 cm y en el momento del estudio se encontraba llena de agua. Eso representa, al ser la velocidad de las ondas en el agua aproximadamente igual a  3 cm/ns, un retraso de 10 ns entre ambas reflexiones. 

En la figura 8 se ha reproducido sintéticamente el aspecto aproximado que hubiese tenido el registro de haberse encontrado la tubería llena de aire. La velocidad de propagación de las ondas en el aire es 10 veces superior a la del agua, con lo que el retraso entre reflexiones es de tan solo 1 ns, produciéndose una interferencia entre ambas. Esto dificultará el intento de cálculo del espesor de la tubería ya que en ocasiones la segunda reflexión tendrá una amplitud pequeña, debido a una fuerte atenuación, lo que hará que al solaparse con la primera sea muy difícil de localizar. Todo esto depende de lo experimentado que sea el operario y del conocimiento que este tenga sobre las dimensiones aproximadas que pueda tener la tubería ó tuberías buscadas, esto facilitará mucho la interpretación.

Por lo general el material del que esta constituido la tubería o tubo no es relevante, si lo será en el caso de que este sea metálico, y la potencia de reflexión de la onda en el objeto vendrá determinada normalmente por el contraste de permitividades entre la del contenido de la tubería y el medio en el que se encuentra.

El modelo puede complicarse aún más en el caso de que el espesor de las paredes de la tubería no se pueda despreciar frente a la longitud de onda de la señal empleada, esto podría suceder por ejemplo en las tuberías de hormigón de gran diámetro. En tal caso podría haber que considerar nuevas reflexiones entre el suelo y el material que constituya la tubería y entre este y el aire o agua. A este respecto se cita un estudio muy interesante llevado a cabo por Zeng (1997) en el que se intenta caracterizar la respuesta de tuberías y tubos enterrados mediante la simulación  y análisis de las reflexiones producidas por varios tipos de tuberías y tubos, vacíos y llenos de diferentes líquidos como agua, gasolina o gas.

The diameter of the pipe of Figure 7 is 30 cm and the time of the study was filled with water. That is, when the velocity of the waves in the water approximately equal to 3 cm / ns, a delay of 10 ns between the two reflections. 

Figure 8 has been synthetically reproduced the approximate aspect that had had the record of the pipe filled with air have been found. The speed of wave propagation in air is 10 times higher than that of water, so that the delay between reflections is only 1 ns, causing interference between them. This will hinder the attempt to calculate the thickness of the pipe because sometimes the second reflection will have a small amplitude, due to strong attenuation, which will overlap with that at first it is very difficult to locate. This all depends on how experienced you are the operator and the knowledge that this has on the approximate dimensions that can be searched pipe or pipes, this will greatly ease the interpretation. 

Usually the material it is made ​​the pipe or tube is not relevant, if it is in the case where this is metallic, and the power of wave reflection on the object will normally be determined by the contrast in permittivity between the the content of the pipeline and the environment in which it resides. 

The model may be further complicated in the event that the wall thickness of the pipe can not be neglected compared to the wavelength of the signal used, this could occur for example in concrete pipes with large diameters. In this case it might have to consider new reflections between the ground and the material that constitutes the pipe and between it and the air or water. In this connection a very interesting study conducted by Zeng (1997) in which an attempt is made to characterize the response of buried pipes and by simulating and analyzing the reflections produced by various types of pipes, tubes pipes, empty and full is cited different liquids such as water, petrol or gas.

3.4 CONSIDERACIONES SOBRE LA POLARIDAD DE LA SEÑAL RECIBIDA.

Normalmente en GPR una señal emitida se reduce a un pulso que contiene tres semiperiodos de una sinusoide de frecuencia determinada por la antena emisora. El aspecto se asemeja al de un pulso Ricker ideal, tal como los usados en sísmica de reflexión, como el que se puede ver en la figura 9.

Normally a broadcast signal in GPR is reduced to a pulse containing three half periods of a sinusoid of frequency determined by the transmitting antenna. The appearance resembles a Ricker pulse ideal, such as those used in seismic reflection, as you can see in Figure 9.

Figura 9

Esta naturaleza de la señal es el resultado de las características de radiación de una pequeña antena de tipo dipolo. La amplitud relativa de los semiperiodos o semiciclos es del orden -1, 2, -1. La señal resultante no tiene componente continua o valor medio. 

No hay un estándar particular para lo que es definido como pulso o polaridad positiva o negativa. En ocasiones se define la polaridad de la señal basada en el signo del voltaje durante el primer semiciclo. Un valor positivo en el primer semiciclo significa que el pulso es considerado positivo mientras que un voltaje negativo durante el primer semiciclo significa que el pulso es negativo o que su polaridad es negativa. No importa el convenio seguido para definición de los pulsos, lo que importará serán estos cambios que determinaran un cambio de polaridad en la señal.

The nature of the signal is the result of the radiation characteristics of a small dipole antenna type. The relative amplitude of half cycles or half periods of the order -1, 2, -1. The resulting signal has no DC component or average value. 
There is no particular standard for what is defined as a pulse or positive or negative polarity. Sometimes the signal polarity based on the sign of the voltage during the first half cycle is defined. A positive value in the first half cycle means the pulse is considered positive and a negative voltage during the first half cycle means the pulse is negative or negative polarity. No matter the convention followed for the definition of the pulses, which import these changes will determine a change in the signal polarity.

Figura 10 

En ocasiones es más fácil describir el signo de un pulso siguiendo un determinado convenio. En el manual de la compañía canadiense Sensors & Software Inc., por ejemplo, se identifica un pulso positivo como una señal con forma de “M” y uno de polaridad negativa como una señal con forma de “W”. Estos conceptos se representan en la figura 10.

La figura 11 representa los conceptos básicos de una medición simple, en la que aparece la onda directa, la primera reflexión con el suelo y una reflexión debida a un cambio de sustrato en el subsuelo. 

Sometimes it is easier to describe the sign of a pulse following a certain convention. In the manual of Canadian Sensors & Software Inc. company, for example, a positive pulse is identified as a signal with "M" and one of negative polarity as a signal with a "W". These concepts are depicted in Figure 10. 
11 shows the basics of a simple measurement, in which the direct wave occurs, the first reflection and the floor reflection due to a change in the ground substrate.

Figura 11. Cuando se lleva a cabo un registro con GPR el numero mínimo de eventos que normalmente recoge una traza son 3: la onda directa A, la onda reflejada en la superficie del suelo G y una señal reflejada R. En la figura se representa dos trazas ideales en las cuales se muestra la polaridad de las reflexiones. La señal reflejada podrá tener una polaridad positiva o negativa.
Figure 11 is performed when a register GPR the minimum number of events that are normally contains a trace 3: A direct wave, the reflected wave on the ground surface G and a reflected signal R. In the figure is shown two ideal trace in which the polarity of reflections shown. The reflected signal may have a positive or negative polarity.

En este caso se ha transmitido un pulso positivo, que tiene una forma “M”. La onda directa que viaja a través del aire será también un pulso positivo o tipo M, mientras que la onda reflejada en la superficie tendrá una polarización negativa o lo que es lo mismo, una forma W. La reflexión debida al cambio de medio, sin embargo, podrá ser positiva o negativa (es decir una forma “M” o “W”). 

En la practica, cuando se opera con antenas tipo ground-coupled monoestáticas de dos dipolos tx/rx (cuasiestático), la proximidad al suelo a la que se colocan estas antenas debe ser muy pequeña (lo ideal es un contacto directo), para que se produzca la máxima transferencia de energía antena/medio. Esto hace que la primera reflexión y la onda directa normalmente aparezcan solapadas en cada traza. Por lo que las reflexiones A y G de la figura 11 suelen aparecer como un único pulso de una mayor longitud presentando interferencias constructivas y destructivas.

En caso de considerar incidencia aproximadamente normal, la reflexión se produce por cambios en la impedancia electromagnética, de forma que cuanto mayor sea la diferencia entre las impedancias de ambos medios, mayor será la potencia reflejada. 

La señal reflejada sufrirá además un cambio de fase si la constante dieléctrica del segundo medio es de mayor magnitud que la del primero, o dicho de otra forma, cuando la onda se refleje sobre un medio donde la velocidad de las ondas electromagnéticas es menor.

In this case, a positive pulse is transmitted, which has an "M" shape. The direct wave traveling through the air is also a positive pulse or M type, while the reflected wave at the surface will have a negative bias or what is the same, one form W. The reflection due to switching means without But you can be positive or negative (ie an "M" or "W" shape). 
In practice, when operating with type antennas ground-coupled monostatic two dipoles tx / rx (quasistatic), ground proximity to these antennas are placed should be very small (ideally direct contact), so that maximum transfer of antenna / medium energy occurs. This causes the first reflection and the direct wave normally appear overlapping on each trace. As reflections A and G of Figure 11 tend to appear as a single pulse of a length greater presenting constructive and destructive interference. 
In case of considering approximately normal incidence, the reflection is caused by electromagnetic impedance changes such that the greater the difference between the impedances of the two media, the greater the reflected power. 
The reflected signal also undergo a phase change when the dielectric constant of the second means being greater than the former, or in other words, when the wave is reflected on a medium where the speed of electromagnetic waves is reduced.

3.5 DETERMINACION DE LA VELOCIDAD DE PROPAGACION

Para poder pasar de tiempos dobles de propagación a profundidades en el interior del medio y, por lo tanto, para interpretar los radargramas, es indispensable estimar de alguna forma la velocidad de propagación promedio de la onda en los materiales estudiados o bien su permitividad efectiva. 

Una forma rápida y cómoda de estimar los parámetros electromagnéticos de un medio consiste en acudir a valores hallados ya por otros autores (por ejemplo, Lorenzo (1994); Hänninen et al, (1992); o Davids y Annan, (1989)). Estos valores, aunque frecuentemente sólo son indicativos, permiten una primera interpretación rápida de los perfiles de GPR que, dependiendo de los requerimientos del trabajo, puede ser suficiente. Está claro que cuanto mayor sea la información que se tenga sobre las características de los suelos y su disposición, más se podrá afinar en la elección de los valores adecuados y, por tanto, en la interpretación final del modelo estructural del subsuelo investigado.

En este apartado se propone un modelo (Lorenzo (1996)) que puede ser utilizado para el cálculo de la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el suelo que rodea una tubería a partir de la hipérbola que producen las reflexiones en su superficie. 

Como se vio, cuando la antena se desliza sobre la superficie de un medio en el que tenemos un elemento de dimensiones finitas enterrado a una cierta profundidad z, este objeto empieza a ser detectado antes de que la antena se sitúe sobre la vertical del mismo, como se esquematizó en la figura 1

To move from double depths propagation times within the medium and, therefore, to interpret radargrams is necessary somehow to estimate the average speed of wave propagation in the materials studied, or its effective permittivity. 

A quick and convenient way to estimate the electromagnetic parameters of a medium is going to found and by other authors (eg, Lorenzo (1994), Hänninen et al, (1992), or Davids and Annan (1989)) values. These values​​, although often they are only indicative, first allow rapid interpretation of GPR profiles, depending on job requirements, may be sufficient. It is clear that the more information that is available on the characteristics of soil and its disposal, the more you can tune in choosing appropriate values ​​and thus, in the final interpretation of the structural model of the subsurface investigation. 
In this section a model (Lawrence (1996)) that can be used to calculate the speed of propagation of electromagnetic waves in the soil around a pipe hyperbola from producing reflections on the surface is proposed. 
As seen, when the antenna is slid onto the surface of a medium in which we have an element of finite dimensions buried at a certain depth z, the object starts to be detected before the antenna is placed on the vertical of the same, as sketched in Figure 1

A una cierta distancia x de la vertical del objeto (situado a una profundidad y₀) ya se puede detectar el mencionado objeto. La distancia, y, en este caso es: 
At a distance x from the vertical of the object (located at a depth y₀) and can detect said object. The distance, and in this case is:

El tiempo de propagación para esta distancia y es t(x, y₀, v) una función que depende tanto de x como de y0 y de la velocidad v. Como el tiempo que se registra es el tiempo doble de propagación, es decir, dos veces éste t(x, y₀, v), se tiene:
The propagation time for this distance and t (x, y₀, v) be a function which depends on both x and y0 and velocity v. As the time recorded is twice the propagation time, that is, twice this t (x, y₀, v), we have:

Combinando ambas fórmulas:
Combining both formulas:

Considerando el tiempo doble de propagación registrado cuando la antena está sobre la vertical del objeto, T₀

Considering the double propagation time recorded when the antenna is on the vertical of the object T₀

Se puede escribir la ecuación siguiente en función de parámetros conocidos o que pueden ser fácilmente obtenidos del registro. Se llega de este modo una función que depende de T₀ (valor medido en cada uno de los casos sobre el registro), de la posición de la antena sobre la superficie respecto a la vertical del objeto, x, y del tiempo doble

de propagación T que se corresponde con cada valor de x. La única incógnita de esta ecuación es la velocidad de propagación v, que es el factor que se quiere calcular:

We can write the following equation based on known parameters and which can be easily obtained from the register. A function that depends on T₀, the position of the antenna on to the vertical surface of the object, x, and double time (measured in each case on the register value) is reached in this way 

propagation T corresponding to each value of x. The only unknown in this equation is the propagation velocity v, which is the factor to be calculated:

Despejando en la ecuación el valor de la velocidad:
Solving the equation for the value of the speed:

De manera que tomando pares de puntos (x, T) de la hipérbola, se obtiene la velocidad de propagación de la onda.

Lo que se hace normalmente es representar dicha hipérbola en unos ejes x ² – T ², y se obtiene una aproximación del cuadrado de la velocidad a partir de la pendiente de la recta resultante. Con este dato se podrá situar la profundidad del reflector sin más que multiplicar la velocidad así obtenida por el valor T₀, implícito en la ordenada correspondiente al origen de la recta resultante de dicha representación.

Cabe destacar que en este tipo de aproximación no se tiene en cuenta las dimensiones del reflector y su influencia en la forma de la hipérbola. En realidad, cuando el reflector es de dimensiones considerables o está muy cercano a la superficie, el proceso sucede de la forma que se plantea en la figura 12. 

So as to take pairs of points (x, T) of the hyperbola, the speed of wave propagation is obtained. 
What is normally done is to represent that in a hyperbola axis x ² – T ², and an approximation of the square of the velocity is obtained from the slope of the resulting line. With this data may place the reflector depth simply by multiplying the rate thus obtained by the value T₀, implicit in the corresponding intercept of the line resulting from this representation. 
Note that in this type of approach does not take into account the size of the reflector and its influence on the shape of the hyperbola. Actually, when the reflector is of considerable size and is very close to the surface, the process happens in the way that is proposed in Figure 12.

Figura 12. Modelo de reflexión en la superficie de una tubería teniendo en cuenta sus dimensiones
Figure 12 Model of reflection on the surface of a given pipe dimensions

En este caso la hipérbola que rige el fenómeno de reflexión sobre el  objeto puede ser reproducida según el siguiente criterio:

In this case the hyperbola underlying the phenomenon of reflection on the object may be reproduced on the following basis:

donde: where: 

y       =        trayecto que recorre el rayo emitido hasta que es reflejado. / path the beam emitted until it is reflected. 

y₀      =        distancia sobre la vertical de la tubería. / the vertical distance from the pipe.

d     =        d₀      =        r        =        radio de la tubería. / radius of the pipe. 

x        =        distancia de la antena a la vertical de la tubería. /  distance from the antenna to the vertical pipe.

Sustituyendo de nuevo los valores y e y₀ en función de los datos de tiempos dobles de reflexión de que se dispone, se obtiene la siguiente ecuación:

Substituting new values ​​y e y₀ according to the data of double reflection times available, the following equation is obtained:

donde: where:

T       =        tiempo doble de reflexión. / doubling time of reflection. 

T₀      =        tiempo doble de reflexión sobre la vertical del reflector. / doubling time of reflection on the vertical reflector.

x        =        distancia de la antena a la vertical de la tubería. / distance from the antenna to the vertical pipe. 

v        =        velocidad de propagación de las ondas en el medio. / velocity of wave propagation in the medium.

r        =        radio de la tubería. / radius of the pipe.

Es inmediato comprobar que, al contrario de lo que sucedía en la ecuación anterior la representación de esta ecuación en unos ejes x ² - T ² no se corresponde con una recta.

Una vez obtenido un registro hiperbólico debido a un reflector de dimensiones importantes en relación con la longitud de onda de la señal de la antena empleada, es de esperar una forma para la hipérbola que se acerque más a esta ecuación que a la anterior, con lo que en el ajuste por un método de mínimos cuadrados de los datos experimentales para valorar la velocidad de propagación se puede incluir como parámetro el radio de la sección circular de la tubería, obteniéndose al mismo tiempo una aproximación de las dimensiones de esta. En el caso de que éste parámetro sea conocido, puede introducirse como dato en la ecuación, permitiendo un ajuste más preciso de la velocidad.         

It is straightforward to check that, contrary to what happened in the above equation representation of this equation in axis x ² - T ² does not correspond to a line. 

After obtaining a hyperbolic register due to a reflector of large dimensions in relation to the wavelength of the signal of the used antenna is the expected shape for the hyperbola that is closer to this equation to previous, whereby adjustment in the least squares method of the experimental data to assess the propagation velocity can be included as a parameter of the circular radius of the pipe, while obtaining an approximation of the size of this section. In the event that this parameter is known, it can be introduced as data into the equation, allowing for a more precise adjustment of the speed.

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