El objetivo principal es poder pasar de funciones del tipo:
fn = f(fn-1, fn-2…) ; Implícita
A
f(n) = f(n); explícita
Hasta ahora hemos visto del caso de funciones impílícitas polinomiales puras, es
decir, del tipo:
fn = ∑Ai·f(n-i); i e [1..k];
Y acabamos encontrando la solución:
fn = ∑ai·rin; i e [1..k];
Donde r son las raíces de la ecuación:
xn-k - ∑Ai·xn-i
= 0;
Puede verse el desarrollo en:
Simplificando a un término
Avanzando en nuestro objetivo principal, vamos a realizar la búsqueda de las funciones implícitas mixtas. Esto es, del tipo:
fn = ∑Ai·fn-i + ∑ai·nn-j; i e [1..p], j i e [1..q];
Serían de la forma:
fn = ω·fn-1 + ∑Ai·nj
Dejamos al lector la comprobación del fundamento de tal aseveración
Como es de imaginar lo más simple es empezar con p=1 y q=0:
fn = ω ·fn-1 + A
Para llegar a
f(n) = w·rn + a
Obtenemos
- w = f0+A/(ω-1);
- a = –A/(ω-1);
f(n) =
[f0+A/(ω-1)]·ωn –A/(ω-1);
Salvo, cuando ω=1: f(n) = f0+A·n; ¡SUBE UN GRADO EL POLINOMIO!
Simplificación de dos términos
El siguiente paso es con p=1 y q=2
fn = ω ·fn-1 + B·n + A
Para llegar a
f(n) = w·rn + b·n + a
Obtenemos
- r=ω;
- w = f0+B· ω /( ω -1)2+A·
ω /( ω -1);
- b = – B/( ω -1);
- a = - B· ω /( ω -1)2 – A· ω /( ω
-1);
f(n) = [f0+B·ω/(ω-1)2+A/(ω
-1)]·ωn -[B/(ω-1)]·n - B· ω/(ω -1)2
– A/(ω-1);
Salvo, cuando ω=1: f(n) = f0+B·n(n+1)/2+A·n;
¡SUBE UN GRADO EL POLINOMIO!
Simplificación de tres términos
El siguiente paso es con p=1 y q=3
fn = ω ·fn-1 + C·n2 + B·n + A
Para llegar a
f(n) = k·rn
+ c·n2 + b·n +
a
Obtenemos
- r=ω;
- c = –C /(ω – 1);
- b = –B /(ω–1)–2Cω/( ω -1)2 ;
- a = –A/(ω–1) – Bω/(ω–1)2 –Cω(ω+1)/(ω–1)3;
- k = f0 – a;
fn = [f0+A/(ω–1)+Bω/(ω–1)2+Cω(ω+1)/(ω–1)3]·rn +[–C/(ω-1)]·n2 +
[–B /(ω–1)–2Cω/( ω -1)2 ]·n+[–B /(ω–1)–2Cω/(
ω -1)2];
Primera conclusión
Es fácil llegar a la conclusión de que para p=1 y un grado cualquiera:
fn = ω ·f(n-1) + Polinomio de grado "q"
Se puede llegar
f(n)= k·rn + Otro polinomio de grado "q"
¡Ó "q+1" SI w=1!
Definición de transformada de INEX (intrínseca a extrínseca)
Dado un polinomio P(n) se define INEX(ω,P(n)) = Q(n)
al Polinomio que resulta de transformar fn = ω ·fn-1 + P(n) a f(n) = k·rn + Q(n)
Y la función inversa EXIN, Dado un polinomio Q(n) se define EXIN(ω, Q(n)) = P(n)
al Polinomio que resulta de transformar el caso contrario f(n) = k·rn + Q(n) a fn = ω ·fn-1 + P(n) .
En próximas entregas veremos propiedades muy interesantes de las funciones INEX y EXIN
