La función EXIN. De extrínseca a intrínseca. Propiedades

Desarrollo anterior:

• Ampliaciones a la serie de Fibonacci
• Ampliación a la serie de Fibonacci. Raíces dobles.
• Ampliación a la serie de Fibonacci. Raíces triples ... y más.
• La función INEX; Transformación de funciones implícitas a explícitas.Primera parte

Recordemos que dada una función:

f_n=wⁿ+P(n)

f_n-wf_n-1 = P(n)-wP(n-1)

Definiremos la función EXIN

Definiremos la función EXIN o más escuetamente Δ como

Δ(w,P) = P(n)-wP(n-1) = P - wP^-

Suma:	Δ(w,P+Q) = Δ(w,P) + Δ(w,Q)
Multiplicación escalar:	Δ(w,k·P) = k·Δ(w,P)
Suma del factor	Δ(v+w,P) = Δ(v,P) + Δ(w,P) - Δ(0,P)
Factor neutro	Δ(0,P) = P
Multiplicación factor	Δ(v·w,P) =v· Δ(w,P) –P·(v-1) Δ(v·w,P) = v· Δ(w,P) –(v-1)· Δ(0,P)
Exponente de factor	Δ(wm,P+Q) = wm·Δ(1,P) –P·(wm-1) Δ(wm,P+Q) = wm·Δ(1,P) –(wm-1)· Δ(0,P)
Inclusión:	Δ(a, Δ(b,P)) = P – (a+b)P- + (ab)P= Δ(a, Δ(b, Δ(c,P))) = P – (a+b+c)P- + (ab+bc+ca)P= - (abc)P≡ …
Inclusión 2:	Δ(a, Δ(a,P)) = P – 2aP- + a2·P= Δ(a, Δ(a, Δ(a,P))) = P – 3aP- + 3a2·P= - a3·P≡ … (Se puede ver que van apareciendo los número del tríángulo de Tartaglia/Pascal)

Para hacerse una idea de cómo varía utilizaremos un ejemplo con P(x)=-3x²+x+3

Dibujo de la función:

Video de la variación:

Funciones de dos factores o más

Los dos ejemplos de inclusión anteriores pueden hacernos ver un ejemplo muy interesante con dos elementos previos a la función. Lo mejor será verlo con un ejemplo:

Sea: Δ(2, Δ(3,P)) = P – 5P^- + 3P⁼

Para una función P(n) = 4n – 2 (por ejemplo)

P – 5P^- + 3P⁼ = 4n – 2   –5[4(n–1)– 2)]  + 6[4(n–2)–2] = 8n – 32

Entonces:

f_n = 2ⁿ + 3ⁿ + 8n – 32

Para

f_n – 5f_n-1 + 6f_n-2 = 4n – 2    ó    f_n = 5f_n-1 –  6f_n-2 + 4n – 2

Como se puede observar este planteamiento vale tanto para un escalado de función (f_n-1 ) como para dos escalados (f_n-1 y f_n-2) o más.