NÚMEROS ABC (Operador ֎) Nuevo operador de vectores. Resumen.

  (Operador ֎) RESUMEN.

DEFINICIÓN:

Buscando un nuevo operador de matrices de dimensiones 1xN cuyo resultado sea también una matriz 1xN (o vector) que tuviera un elemento neutro, propiedad conmutativa e inversa se encuentran varias posibilidades según sea el valor de N.

Para el caso 2D se encuentra: (A, B) ֎ (a, b) = (Aa+Bb, Ab+Ba)

En neutro sería (1,0) y el inverso, (a, b) ֎ (A, B) = (1, 0) → A=a/(a²-b²), B=-b/(a²-b²)

Para el caso 3D, se encuentran 4 soluciones posibles (ver entrada Nuevos operadores de vectores) de la que se escoge una de ellas que, además, servirá de punto de partida para definiciones de l operador para todos los valores de N:

PROPIEDAD CONMUTATIVA:

Como ya se viera, el operador "֎" definido como se ha hecho en el apartado anterior tiene la propiedad conmutativa: (A, B, C, ..) ֎ (a, b, c, ..) = (a, b, c, ..) ֎ (A, B, C, ..)

ELEMENTO NEUTRO:

Resulta ser (1, 0, 0, ..)

EFECTO ROTACIONAL:

Véase "Números ABC.. Nuevos operadores de vectores (Giros y perpendicular)"

POLINOMIOS:

Se puede definir una potencia de un número ABC como (a, b)² = (a, b) ֍ (a, b) = (a²+b², 2ab). En el caso 2D

Propiedad interesante:

De igual manera se demuestra:  si   (a, b, c, … )ⁿ = (p, q, r, …) → (a + b + c + … )ⁿ = (p + q + r + …)

Véase "(Operador ֎) Nuevas operadores vectorales (potencias y polinomios)"

FUNCIONES:

Por lo dicho anteriormente si se puede definir una potencia de un número ABC, para una función continua y derivable del mundo real que sea transformable en una serie de Taylor como por ejemplo F(x)=seno(x), se podría generalizar de la forma F(a, b, c, .. ) = seno(a, b, c, .. ) = (A, B, C, ..).

Seno(-0.5, 0.3) = (-0.458.., 0.259..),, Lógicamente seno(-0.5+0.3) = seno(0.2) = -0,198.. (= -0.458.. + 0.259..)

INVERSA:

Lógicamente si existe el neutro, se define como inversa a (a, b, c, ..)^-1 = (A, B, C, ..) → (a, b, c, ..) ֎ (A, B, C, ..) = (1, 0, 0, ..)

La forma de calcularla se explica en "Números ABC.. Nuevos operadores de vectores. La inversa". 

RAÍCES:

Más compleja resulta la resolución de raíces que puede ser directa con una resolución de ecuaciones de grado 2 o por un método indirecto basado en series de funciones como se explica en "NÚMEROS ABC (Operador ֎) Nuevos operadores de vectores. Raíces"

El dicho apartado se calcularía √(3, 2, 1) = (1.6636..., 0.5891..., 0.1957...)

Obsérvese que √6=2.4485...

CONCLUSIÓN:

Operar con un número ABC es equiparable a operar con un número real normal cambiando la operación "·" por "֎" aunque un poco más tedioso. Faltará ver como se comporta con el cálculo complejo, diferencial,...