PI, A fractal of integer numbers? / PI, ¿Un fractal de números enteros?

Un fractal de númros enteros recorriendo una circunferencia. / A fractal of integer numbers walking a circle.

Cuando ante una circunferencia se van colocando los diversos números enteros como si se tratase del ángulo estos van recorriendo la circunferencia sin coincidir. Es obvio, ninguna podrá ser múltipo de PI. Por otro lado no estarán todos los puntos reales, la estructura se repite, siempre será igual de denso. Tenemos pués, un fractal con un número entero de puntos.

When you are placing the various integers walking a circle as if they angles, these are covering the circumference without match. Obviously, none will ever be multiple of PI. On the other hand shall not be all real points, the structure is repeated, always equally thick. We later, a fractal with an integer number of points.

Las coordenadas de cualquier punto será dado por un número entero, por ejemplo, el 32727.

Aproximación de un número real a su situación en la circunferencia. Estirando la circunferencia y ampliando continuamente su forma sería de este estilo:

The coordinates of any point will be given by an integer, eg 32727.

Approximation of a real situation in your circle number. By stretching the circumference and continually expanding its form would be like this:

Si en ligar de PI tenemos raiz(2)= 1,4142135623731 ... El resultado sería éste:
If instead of PI, we have sqrt (2) = 1.4142135623731 ... The result would be this:

La paradoja que se observa es que al igual que en el conjunto de números reales siempre hay un número entero entre dos números enteros dados que siguieran esta sucesión.

Esta cualidad nos va a permitir adentrarnos en el mundo de los fractales en donde hemos podido definir la situación un punto a través de mezclas de números reales y sucesiones de números enteros.

The paradox we see, is that like in the set of real numbers there is always an integer between two given integers follow this sequence.

This quality will allow us to enter the world of fractals where we could define the situation a point through mixtures of sequences of real numbers and integers.

Nota: para crear el gif hemos utilizado el programa GIMP y para la película hemos convertido el fichero gif a avi con el programa ffmpeg con la sintaxis; ffmpeg -i archivo.gif -s  archivo.avi (con windows sería: ffmpeg.exe -i archivo.gif -s archivo.avi)

Note: To create the gif we used the GIMP program and film have become the gif file to avi with ffmpeg program syntax; ffmpeg -i -s archivo.gif file.avi (with windows would be: ffmpeg.exe -i -s archivo.gif file.avi)

Program:

Private Sub Command1_Click()
  Picture1.Cls:Picture1.ScaleWidth = 4
  m = Picture1.ScaleHeight:t = QBColor(15)
  Picture1.FontSize = 6
  r2 = Sqr(2) * 2 '6.28318530717959
  
  For j = 1 To 10000 Step 1
    Picture1.Cls: H = 7.3 - j ^ 0.27: Picture1.ScaleWidth = H
    
    For i = 0 To j
      n = i - Int(i / r2) * r2
      m = Int(i / r2) / j * 5000 + 10
      If n < H Then
        Picture1.Line (n, 0)-(n, m), QBColor(15) - i
        Picture1.ForeColor = QBColor(15) - i
        Picture1.CurrentX = n
        Picture1.CurrentY = m
        Picture1.Print i
          If m < 82 Then
             Picture1.Line (n, 2595)-(n, 2300), QBColor(15) - i
             Picture1.CurrentX = n
             Picture1.CurrentY = 2300
             Picture1.Print Format(n, "0.000")
         End If
     End If
   Next i
   DoEvents
   SavePicture Picture1.Image, "Dibuja\" & Format(j, "00000") & ".BMP"
  Next j
End Sub

Cyclic sets operators / Operadores en conjuntos cíclicos

Operadores de dos elementos / Operators of two elements

Ya hemos vistos los dos operadores (sin repetición) posibles:

We have already seen the two possible operators (without repetition):

Asi pues para una pareja de números 0110 y 0101:
For a couple of numbers 0110 and 0101:

              0110 A 0101 = 0011

Sabiendo que:
Knowing that:

             0011 -A 0101 = 0110

Se deduce que -A equivale al mismo A. Para B el resultado es el mismo. Resumiendo:
We deduce that -A is equivalent to the same A. For B the result is the same. In short:

Operadores de tres elementos / Operators of three elements:

Ya hemos vistos los tres operadores (sin repetición) posibles:

We have already seen the three possible operators (without repetition):

Así pues, para la oeración: 210012 A 022021 = 202000.  Si buscamos el operador equivalenete a -A, tendrá que satisfacer 2020000 - A 022021 = 210012. Ese operador resultó ser B. También para la operación 2020000 - A .210012 = 022021.

Thus, for operation: 210012 A 022 021 = 202000. If we seek the operator equivalenete to -A, it will have to satisfy 2020000 - A 022 021 = 210012. This operator also proved for operation B. 2020000 - A 210 012 = 022 021 .

Para -B será A en el primer caso y C para el segundo. Para -C será C y A respectivamente. Lo simbolizaremos de la siguiente manera:

To -B, it will in the first case A and C in the second. To C, it will be C and A respectively. Will draw what follows:

Línea negra, anti operador por la derecha, Roja, por la izquierda.
Black line, anti operator on the right Roja, to the left.

Si estudiamos todos los operadores, obtendremos:
If we study all operators, we obtain:

 

Operadores de cuatro elementos / Operators of four elements

Como sabemos que habrá 288 operadores es mejor tomarlo con un poco más calma e inteligencia para nosufrir demasiado.

As we know that there will be 288 operators is best taken with a little more calm and intelligence to not suffer too much.

2-factorial and measurement of cyclic sets operators / 2-factorial y la medición de operadores en conjuntos cíclicos

Empezaremos partiendo de un conjunto sumple de dos elementos {0, 1} sólo será posible tener dos operadores:

We begin si.mple starting from a set of two elements {0, 1}. It will only be possible to have two operators:

En el caso de tener tres elementos {0, 1, 2} tendremos una colección de 12 elementos:
In the case of having three elements {0, 1, 2}, we will have a collection of 12 elements:

Para el caso de 4, va a ser más prudente pensar un poco antes de lanzarnos con todo el muestrario de operadores pocibles:

For the case of 4, it will be wiser to think a bit before venturing to show the entire sample of pocibles operators:

Definición del 2-factorial: / Definition 2-factorial:

Tomando la definición de n!:
Taking the definition of n!:

                      n! = n·(n-1)·(n-2)· ... ·1,

definiremos el 2-factorial como  n!!:
We we will define the 2-factorial as n !!:

                      n!! = n!·(n-1)!·(n-2)!· ... ·1!

En la proxima entrega estudiaremos los diversos entrelazados de cada operador.
In the next delivery we will study each interlinked operators.