Coordinates and operations in fractals systems II / Coordenadas y operaciones en sistemas fractales II

Diagrama fractal / Fractal diagram

Suele ser muy difícil "ver" unas coordinadas fractales y, sobre todo operar con ellas porque estas coordenadas no se entienden bien. Por ello se nos ha ocurrido realizar un esquema para visualizarlas:

It is usually very difficult "to see" a fractal coordinated and above all operate with them because these coordinates are not well understood. Therefore we have come to us to make a scheme for display:

Explicación: para llegar al Punto A, partimos desde el Origen. Éste no tiene porqué estar en una bifurcación, en la imagen superior le hemos colocado a - 8.597 uds de la 1ª bifurcación (M_O). Luego seguimos la ruta, pasando por los nudos 6, 4, 3, y 3. Después recorre 1.569 uds (M_A) de la última espiral (en caso de las espirales estudiadas con anterioridad). (8.597 + 1.569 = 10.166; M_O + M_A) Así pues, el Punto A es: {(6, 4, 3, 3); 10,166}. Para el Punto B: el {(4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502}.

Explanation: to reach the point A, we start from the origin. This does not have to be at a bifurcation in the picture above we will have placed - 8,597 units of the 1st bifurcation (M_O). Then we follow the route through the nodes 6, 4, 3, and 3. After walking 1,569 units (M_A) of the last spiral (in case of spirals studied previously). (8,597 + 1,569 = 10,166; M_O + M_A) Thus, the point A is: {(6, 4, 3, 3); 10,166}. Point B is {(4, 6, 2, 0, 1, 2); 11,502}.

Forma general: General form : OA = {(A₁, A₂, …, A_p), M_A - M_O}

Distancias relativas, vectores. / Relative distances. Vectors.

La nueva dificultad radica en cambiar el origen y/o obtener coordenadas relativas. Es decir ¿Cual es la coordenada de O y de B respecto a A. La solución, es emplear números negativos, -1 significará retroceder hasta la bifurcación inmediata anterior; -2, retroceder hasta 2 bifurcaciones y así sucesivamente. De esta manera O(respecto a A) sería el  {(-4); 10.166} y B (respecto a A) sería el {(-4, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 4.474}.

The new challenge is to change the source and / or to obtain relative coordinates. Ie What is the coordinate of O, and B to A. The solution is to use negative numbers, -1 means back to the previous immediate bifurcation; -2, Back to 2 forks and so on. Thus O (relative to A) would be {(-4); 10166} and B (with respect to A) would be {(-4, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 4,474}

Estas serían todas las coordenadas: / These would all coordinates:

OA = {(6, 4, 3, 3); 10,166}

OB = {(4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502}

Para la realización tenemos dos posibilidades:
For the realization we have two possibilities:

1. La más breve consiste en que los números negativos indiquen retroceder el número de nodos superiores anteriores. The short is that negative numbers indicate the number of previous back top nodes.

              AO = {(-4); -10.166}

              BO = {(-6); -11.502}
              OA = {(-p), -(M_A + M_O)}
         Este sistema tiene el impedimento de no tener memoria del movimiento realizado.
         This system has a fault, it has no memory of the movement performed.

2. La otra posibilidad es la de ir restando en sucesión todos los pasos a nodos anteriores, se separan los superiores: The other possibility is to go subtracting in succession all the steps above nodes. separate upper

              AO =  {(-3, -3, -4, -6); -10.166}

              BO =  {(-2, -1, 0, -2, -6, -4); -11.502}
              AO =  {(-A_p, -Ap-1, …, -A₁), -( M_A - M_O )}
         Este sistema tiene memoria pero es más largo
         This system has memory but longer

De igual manera para poder definir los vectores relativos entre dos puntos se podría pensar en los dos puntos de vista:
Similarly to define the vectors relative between two points could think of two views:

1. La más breve / The shorter

AB = {(-4, 4, 6, 2, 0, 1, 2); -1,336}

BA = {(-6, 6, 4, 3, 3); 1,336}

AB = {(-p, B₁, B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )}
BA = {(-q, A₁, A₂, …, A_p), ( M_A - M_B )}

2. La más completa y con memoria / The most comprehensive and with memory

AB = {(-2, -1, 0, -2, -6, -4, 6, 2, 4, 3, 3); -1,336}

BA = {(-3, -3, -4, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 1,336}

AB = {(-A_p, -Ap-1, …, -A₁, B₁, B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )}
BA = {(-B_q, -Bq-1, …, -B₁ , A₁, A₂, …, A_p), ( M_A - M_B )}

Suma de vectores: / Vector Addition:

OA + OB = {(A₁, A₂, …, A_p, B₁, B₂, …, B_q), M_A + M_B + 2·M_O}
OA + AB = {(A₁, A₂, …, A_p, -A_p, -Ap-1, …, -A₁, B₁), B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )}

Sistema de reducción de opuestos: Reduction system of opposite values:

OA + AB = {(A₁, A₂, …, A_p, -A_p, -Ap-1, …, -A₁, B₁, B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )}

OA + AB = {(A₁, A₂, …,            , -Ap-1, …, -A₁, B₁, B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )}

Subsiguientemente: / subsequently:

OA + AB = {(B₁, B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )} = AB

Ejemplo: Example

  OA = {(6, 4, 3, 3); 10,166}

  AB = {(-3, -3, -4, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2); -1,336}

  OA + AB = {(6, 4, 3, 3,-3, -3, -4, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2);11.502}
  OA + AB = {(6, 4, 3,  -3, -4, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502}
  OA + AB = {(6, 4,  -4, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502} 
  OA + AB = {(6, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502}
  OA + AB = {(4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502}= OB

c.q.d. / as was shown