Previo: Situando un punto relativo en una recta:/ Previous: Placing a relative point on a line:
Nos parece muy claro cómo definir un punto situado en una recta. El sistema es sencillo. Se elige un punto al que se denominará origen Y una dirección como positiva. En este entorno se le hace corresponder un punto con la distancia al origen. A ésta distancia se le dará un signo dependiendo del sentido con la dirección prefijada. Es obvio:
It seems very clear how to define a point on a line. The system is simple. A point is chosen. It is called the origin and a direction as positive. In this environment is made to correspond a point with distance from the origin. At this distance will be given a sign depending on the direction to the given address. It is obvious:
It seems very clear how to define a point on a line. The system is simple. A point is chosen. It is called the origin and a direction as positive. In this environment is made to correspond a point with distance from the origin. At this distance will be given a sign depending on the direction to the given address. It is obvious:
Basta con decir: 2.156 y ya hemos situado el punto en la recta:
It is suficente to say: 2.156 and have already placed the point on the line:
Previo: Situando un punto relativo en un plano: / Previous: Placing a relative point on a plane:
De igual manera, colocamos un punto como origen dos direcciones no coincidente y la pareja distancias que sigan estas direcciones será la definición del punto:
Similarly, as we place a point source, and two different directions. The two distances to follow these directions will define the point:
Similarly, as we place a point source, and two different directions. The two distances to follow these directions will define the point:
El punto sería el P (2.156, 3.987) con ese origen y ejes.
The point would be P (2.156, 3.987) with the origin and axes.
The point would be P (2.156, 3.987) with the origin and axes.
Definición de la posición relativa de un punto en un fractal: / Definition of the relative position of a point in a fractal:
A priori, esto no parece tan sencillo:
A priori, it does not seem so simple:
A priori, it does not seem so simple:
¿Cómo especificamos un punto es esta forma? Si la dimensión de este fractal estará entre 1 (son líneas) y 2 (se desarrolla en un plano) ¿Cómo sitúo un punto con sólo 1 ó 2 números reales?
How to specify a point is this way? If the dimension of this fractal be between 1 (are lines) and 2 (developed in a plane). How do I place a point with only 1 or 2 real numbers?
How to specify a point is this way? If the dimension of this fractal be between 1 (are lines) and 2 (developed in a plane). How do I place a point with only 1 or 2 real numbers?
¿Puedo definir un punto como origen? Esta parte es fácil. Basta con coger cualquiera.
¿Qué debe(n) significar el(los) número(s) que le acompañen?
Can I define a point as the origin? This part is easy. Just take any.
What should mean number(s) that will accompany it?
Para 2D la sucesión para P(2.156..., 3.987...) sería ({2, 1, 5, 6,...}, {3, 9, 8, 7,...}) (en clave decimal)
Si partimos de nuestro fractal:
Following the first example, the point P is defined as. the located 2.156860214 ... units from the origin. One could also say that the number is defined by the entire sequence {2, 5, 6, 8, 6, 0, 2, 1, 4, ...} in decimal code. (20,345 ... correspond to the sequence: {20, 3, 4, 5, ...})
For 2D, the sequence of P (2156 ... 3987 ...) would be ({2, 1, 5, 6, ...}, {3, 9, 8, 7, ...}) (in decimal code)
If we start our fractal:
Partiendo del origen, tenemos que retroceder una espiral (-1) , Avanzar 12, entrar y avanzar 1, y en esa línea moveros 0.2753... unidades (por ejemplo).
Las coordenadas PF serán {(-1, 12, 1, 0[ ...]) (0, 2, 7, 5, 3, ...)}
Starting from the origin, we must go back a spiral (-1), Advance 12 to enter and advance 1 and in that vein, we move 0.2753 ... units (for example).
PF will be the coordinates {(-1, 12, 1, 0[...]) (0, 2, 7, 5, 3, ...)}
Nota: 0[ ...] significa: sucesión infinita de ceros.
Note: 0[...] means infinite sequence of zeros.
La diferencia fundamental con un punto definido en un plano es que los valores de P, 2.156... y 3.987..., son igualmente importantes. En cambio, para P(fractal) la primera sucesión (-1, 12, 1) hace que cuanto más larga sea menos importa la precisión del segundo factor real, (0.2753). Es decir, en un plano si se desea tener una precisión (o error máximo de e) podremos poner 1, 2, ... ó 27 decimales si e = 10-27. Pero en el caso de PFractal nos pueden ocurrir dos cosas:
The fundamental difference with a defined point in a plane is that P values (2.156 ... 3.987 ...) are equally important. However, for P (fractal) the first sequence (-1, 12, 1) makes the longer it is, the less important the precision of the second real factor (0.2753). That is, in a plane if you want to be accurate (or maximum error e) we can put 1, 2, ... or 27 decimal places (if e = 10-27). But if PFractal two things can happen:
Para amenizar el momento os pongo un vídeo:
To entertain I put a video:
Otherwise:
Para hacer este fractal hemos utilizado VB, con esta subrutina:
To make this fractalwe have used VB with this subroutine:
Sub PINTA(ByVal XI As Double, ByVal YI As Double, _
ByVal RI As Double, ByVal ANGINI As Double, _
ByVal FONDO As Integer)
lim = 10
'Si nos salimos de los límites del dibujo
If FONDO > 0 Then If XI < -2000 Or YI < -2000 Or XI > Picture1.ScaleWidth + 2000 Or YI > Picture1.ScaleHeight + 2000 Then Exit Sub
'Definiciaón de la penetración máxima
If FONDO > lim Then Exit Sub
If FONDO > 5 Then QBColor (FONDO - 4) Else colo = QBColor(FONDO + 10)
'Establecimiento de los valores iniciales
A = 0: r = RI: Y = YI: X = XI: X1 = X: Y1 = Y: RESTO = 0: i = 0
Do
X = X + r * Cos(i + ANGINI): Y = Y + r * Sin(i + ANGINI)
Picture1.Line (X, Y)-(X1, Y1), colo
If i >= RESTO Then
RESTO = RESTO + 0.6
PINTA X, Y, r / 4, i + ANGINI + 0.05, FONDO + 1
End If
X1 = X: Y1 = Y: i = i + 0.1: r = r * 0.99
Loop Until r < 2
End Sub
Can I define a point as the origin? This part is easy. Just take any.
What should mean number(s) that will accompany it?
1ª Abstracción: Conversión de un número real una sucesión de números enteros. / 1st Abstraction: Conversion of a real number a sequence of integers.
Siguiendo el primer ejemplo, el Punto P se define como el situado a 2.156860214... unidades del origen. También se podría decir que el número es el definido por la sucesión entera {2, 5, 6, 8, 6, 0, 2, 1, 4, ...} en clave decimal. (para 20.345... correspondería la sucesión: {20, 3, 4, 5, ...})Para 2D la sucesión para P(2.156..., 3.987...) sería ({2, 1, 5, 6,...}, {3, 9, 8, 7,...}) (en clave decimal)
Si partimos de nuestro fractal:
Following the first example, the point P is defined as. the located 2.156860214 ... units from the origin. One could also say that the number is defined by the entire sequence {2, 5, 6, 8, 6, 0, 2, 1, 4, ...} in decimal code. (20,345 ... correspond to the sequence: {20, 3, 4, 5, ...})
For 2D, the sequence of P (2156 ... 3987 ...) would be ({2, 1, 5, 6, ...}, {3, 9, 8, 7, ...}) (in decimal code)
If we start our fractal:
Partiendo del origen, tenemos que retroceder una espiral (-1) , Avanzar 12, entrar y avanzar 1, y en esa línea moveros 0.2753... unidades (por ejemplo).
Las coordenadas PF serán {(-1, 12, 1, 0[ ...]) (0, 2, 7, 5, 3, ...)}
Starting from the origin, we must go back a spiral (-1), Advance 12 to enter and advance 1 and in that vein, we move 0.2753 ... units (for example).
PF will be the coordinates {(-1, 12, 1, 0[...]) (0, 2, 7, 5, 3, ...)}
Nota: 0[ ...] significa: sucesión infinita de ceros.
Note: 0[...] means infinite sequence of zeros.
La diferencia fundamental con un punto definido en un plano es que los valores de P, 2.156... y 3.987..., son igualmente importantes. En cambio, para P(fractal) la primera sucesión (-1, 12, 1) hace que cuanto más larga sea menos importa la precisión del segundo factor real, (0.2753). Es decir, en un plano si se desea tener una precisión (o error máximo de e) podremos poner 1, 2, ... ó 27 decimales si e = 10-27. Pero en el caso de PFractal nos pueden ocurrir dos cosas:
- Si tenemos un número suficientemente elevado de elementos de la primera sucesión sea por ejemplo: (2, 8, 5, 6, 7, 3, 5, 4, 68, 54, 2, 10, 9) el valor real puede, hasta llegar a ser incluso innecesario.
- Al contrario, ante un número muy corto en la sucesión primaria (2, 8) haría falta un valor de la parte real muy precisa para llegar a la misma precisión que en el caso anterior.
The fundamental difference with a defined point in a plane is that P values (2.156 ... 3.987 ...) are equally important. However, for P (fractal) the first sequence (-1, 12, 1) makes the longer it is, the less important the precision of the second real factor (0.2753). That is, in a plane if you want to be accurate (or maximum error e) we can put 1, 2, ... or 27 decimal places (if e = 10-27). But if PFractal two things can happen:
- If we have a sufficiently large number of elements in the first sequence. eg (2, 8, 5, 6, 7, 3, 5, 4, 68, 54, 2, 10, 9), the actual value can, to become even unnecessary.
- Conversely, when a very small number in the primary sequence, eg (2, 8) would take a value of the real part very accurate to reach the same precision as in the previous case.
¿cómo sabemos calcular precisiones idénticas? ¿Qué se extrae de todo esto? / How do we calculate identical accuracies? What is extracted from all this?
Para amenizar el momento os pongo un vídeo:
To entertain I put a video:
Otherwise:
2º Trabajo, realizar un programa que trabaje para nosotros: / 2nd abor, make a program that works for us:
Para hacer este fractal hemos utilizado VB, con esta subrutina:
To make this fractalwe have used VB with this subroutine:
Sub PINTA(ByVal XI As Double, ByVal YI As Double, _
ByVal RI As Double, ByVal ANGINI As Double, _
ByVal FONDO As Integer)
lim = 10
'Si nos salimos de los límites del dibujo
If FONDO > 0 Then If XI < -2000 Or YI < -2000 Or XI > Picture1.ScaleWidth + 2000 Or YI > Picture1.ScaleHeight + 2000 Then Exit Sub
'Definiciaón de la penetración máxima
If FONDO > lim Then Exit Sub
If FONDO > 5 Then QBColor (FONDO - 4) Else colo = QBColor(FONDO + 10)
'Establecimiento de los valores iniciales
A = 0: r = RI: Y = YI: X = XI: X1 = X: Y1 = Y: RESTO = 0: i = 0
Do
X = X + r * Cos(i + ANGINI): Y = Y + r * Sin(i + ANGINI)
Picture1.Line (X, Y)-(X1, Y1), colo
If i >= RESTO Then
RESTO = RESTO + 0.6
PINTA X, Y, r / 4, i + ANGINI + 0.05, FONDO + 1
End If
X1 = X: Y1 = Y: i = i + 0.1: r = r * 0.99
Loop Until r < 2
End Sub
En nuestro formulario de VB hemos añadido un objeto Picture (llamado Picture1) para que funcione.
La orden inicial es PINTA , X0, Y0, R0, 0 ' R0=660, espiral inicial
In our VB form we have added a Picture object to work (called Picture1).
The initial order is PINTA, X0, Y0, R0, 0 ' R0=660, inicial value)
The initial order is PINTA, X0, Y0, R0, 0 ' R0=660, inicial value)
3º Precisiones extremas / extreme accuracies
En la solución de las coordenadas prevista:
In the solution of the provided coordinates:
{(A1, A2, …, An), M ± e} con Ai Î
y M Î 
Se buscará la relación entre n y e.
The relationship between n and e is searched.
In the solution of the provided coordinates:
{(A1, A2, …, An), M ± e} con Ai Î
y M Î Se buscará la relación entre n y e.
The relationship between n and e is searched.
Cuando existe una bifurcación, hay dos posibilidades:
When a bifurcation there are two possibilities:
- Continuar por la espiral en la que estamos, o,
- Entrar en una nueva espiral por el extremo inicial de ésta.
- Continue along the spiral in which we are, or,
- Enter into a new spiral from the starting end of it.
If we continue along the spiral for which we have begun, we will do nothing more difficult to travel a "curve-straight" then for e = 10-5 have the íltima fifth decimal accuracy.
-> Precisión 1 = log(e )/log(10)
El otro extremo es rentrar en una espiral, y otra, y otra... y así sucesivamente. Cada vez que se hace eso, el radio se reduce a la cuarta parte, y así sucesivamente cada vez que penetramos en una nueva espiral. En "n" veces seguidas: : e = R0/4n . Si despejamos n: n = Int[ log(R0) - log(e) ] / log(4). Ya tenemos la relación buscada:
The other possibility is to go into a spiral, and within another, and within another ... and so on. Every time you do that, the radius is reduced to a quarter, and so on every time we enter a new spiral. In "n" times in succession: e = R0/4n. Solving for n: n = Int[ log(R0) - log(e) ] / log(4). We already have the required relation:
-> Precisión 2 = Int[ log(R0) - log(e) ] / log(4)
Tabla con varios valores de e: (R0 = 660, valor inicial)
Table with several values of e: (R0 = 660, inital value)
Dado e → espiral n máxima , nº decimales máximos
1 → 4.68316110 » 5 , 1
0.1 → 6.34412515 » 7 , 2
0.01 → 8.00508920 » 9 , 3
0.001 → 9.66605325 » 10 (*) , 4
0.0001 → 11.3270173 » 12 (*) , 5
0.00001 → 12.9879813 » 13 (*) , 6
0.000001 → 14.6489453 » 15 (*) , 7
0.0000001 → 16.3099094 » 17 (*) , 8
e →
Int(-1,661*log(e)/log(10) + 4,6832), log(e)/log(10)
Cada vez tiene menos importancia el valor inicial de R0 frente al valor creciente de log (e).
(*) Ojo: hay dos dígitos, lo cual hace ver que se necesita uno más.
Gradually becoming a less significance the initial value of R0 against the rising value of log (e).
(*) Caution: there are two digits, which makes it look that is needed one more.
1 → 5 , 1
0.1 → 7 , 2
0.01 → 9 , 3
0.001 → 11 , 4
0.0001 → 13 , 5
0.00001 → 14 , 6
0.000001 → 16 , 7
0.0000001 → 18 , 8
4º Comparación con el plano / Comparison with a plane
Si pudiéramos comparar este sistema de coordenadas relativo de forma coherente con el sistema de coordenadas relativo a un plano y/o recta, estaríamos más cerca de poder definir la dimensión fractal.If we could compare the relative coordinate system in coherence with the coordinate system on a plane and / or a line, we would be closer to define the fractal dimension.
Coming soon its completion.
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