Coordinates in fractals systems II / Coordenadas en sistemas fractales II

Introducción y definiciones / Introduction and Definitions

Como ya se viera en: Coordinates in fractals systems I / Coordenadas en sistemas fractales I. Para poder definir un punto en coordenadas relativas en nuestro fractal se podrían disponer de la siguiente manera:

As you saw in: Coordinates in fractals systems I / Coordenadas en sistemas fractales I. The definition of a point in our fractal relative coordinates could be as follows:

 {(A₁, A₂, …, A_n), M} con A_i Î  y M e Î 

El grado de precisión se definía por el valor e, La sucesión tenía un máximo que le limitaba este valor de e₁ y M quedaba limitado a M ± e₂. 

The degree of accuracy is defined by the value e, The sequence had a maximum which limited the value of e₁ and M was limited to M ± e₂.

En el artículo anterior, hemos estudiado los casos en que,

In the previous article, we studied cases where,

• [e₁ = e, e₂ no importa] El estar en una espiral máxima hace que M sea irrelevante. Being in a high spiral makes M irrelevant.

                          {(A₁, A₂, …, A_n), _ } con A_i Î   y e Î ,

                                            n = f(e) = ( log(R₀) - log(e) ) / log(4)

• [e₁ = no importa, e₂ = e] El hacer el recorrido máximo por la espiral 0 hace que la sucesión A_n sea irrelevante. n = f(e). The maximum journey through the spiral 0 makes the succession An irrelevant. n = f (e).

                          { 0 , M ± e } M, e Î  

Lo difícil será ahora ver la relación entre  n, e, R₀, e₁, y e₂.
The challenge will now see the relationship between n, e, R0, e1, and e2.

Un ejemplo. An example.

Es más fácil verlo desde un ejemplo:

Sea la función semilla:

       r = R₀e^(-ka⁾ = 1000 · e ^(-a/10)

       cada múltiplo de p/5 se crea otra rama con r_n=r(a)/4

Se define la posición: {(5, 4, 12, 0 ,9), 12.259} ¿Qué precisión tiene?

El primer valor 5, nos va a indicar que está en la quinta bifurcación de r se pasa a 1000 · exp(-(p/5*5) / 10 ) = 730.403 al entrar r pasa a r*1/4, 182.601; luego se desplaza hasta la cuarta bifurcación, 182.601*exp(-(p/5*4)/10) = 142.021; al entrar r pasa a r*1/4, 35.505; luego se desplaza hasta la duodécima bifurcación, 35.505*exp(-(p/5*12)/10) = 16.7048;al entrar r pasa a r*1/4, 4.1762; luego no se desplaza (valor 0); al entrar r pasa a r*1/4, 1.04405; luego se desplaza hasta la novena, 1.04405*exp(-(p/5*9)/10) = 0.5931; 

En este momento la precisión de la sucesión es 0.5931 (e₁). LA precisión del segundo al estar en notación decimal será de ± 0.1, ya que 0.1 < 0.5931. (luego e = e₂ si e < e₁)

    {(5, 4, 12, 0 ,9), 12.259 ± 0.1}, con e= 0.1 en longitudes

Si lo quisiéramos con respecto al ángulo, en vez de a la longitud tendríamos que ver que el recorrido es de 12.259 ± 0.1 unidades.  Con la función r = R₀e^{(-ka) l}la longitud sería = -R₀/k·e^(-ka) + R₀/k = 12.259, es decir, 0.5931/10·e^(-a/10) – 0.5931 / 10 = 12.259 de donde a = 53.26413radianes. Con 12.259 +1, a = 53.2649 radianes y con 12.259 -1, a = 53.2633 radianes.

    {(5, 4, 12, 0 ,9), 53.2641 ± 0.0008}, con e= 0.0008 en radianes

Para este cálculo y dibujo se ha utilizado esta subrutina:
For this calculation and drawing this subroutine has been used:

Sub Rama(ByVal R As Double, ByVal x0 As Double, ByVal y0 As Double, ByVal a As Double, ByVal s As Double, ByVal ite As Integer)

If R < 5 Then Exit Sub ' Para evitar error de pila
col = QBColor(10 + ite)
R0 = R: ss = s + a

For i = a To 100 Step 0.01
  r1 = R0 * Exp(-i / 10)
  x = r1 * Cos(i) + x0
  y = r1 * Sin(i) + y0
  If i > ss Then 
         ' Iteración
         Rama R0/4, x-r1/4*Cos(i), y-r1/4*Sin(i), i, s, ite + 1
         ss = ss + s
  end if

  Picture1.PSet (x, y), col
  If r1 < 1 Then Exit Sub
Next i

End Sub