2D-1D Bijection / Biyección 1D-1D

Después del estudio de fractales en donde se disponen huecos en el espacio 2D. Nos hemos parado a pensar en como sería una distribución de una serie que llenara el espacio plano.

Para ello vamos a definir un "no fractal" pero de una forma que aparente serlo:

Sea un espacio plano al que dividimos en cuatro partes:

After studying fractals where voids in the 2D space is available. We have stopped thinking about how to be a distribution of a series that fill the flat space.

We are going to define a "no fractal" but in a way that appears to be:

We define a plane space which divided into four parts:

y éstas las numeramos de 0 a 3:
and these, we number from 0 to 3:

A su vez elegimos una de éstas áreas y volvemos a subdividirla internamente, recursivamente:
In turn, we choose one of these areas and return to subdivide internally recursively:

Si el ancho de la celda principal es 1, a la sucesión recursiva del dibujo { 3,0,1,3 } le corresponde el punto de coordenadas (0.625,0.8125}. 

Si nos fijamos {3013} no deja de ser un número real en base 4 que en base 10 corresponde al número 199 en base decimal.

Si se quiere tener una función para pasar de base 4 a 10 os dejo esta, que ademas permite pasar de cualquier base a 10 (sólo vale para cambios de base de 2 a 10):

If the width of the main cell is 1, the recursive sequence {3,0,1,3} drawing corresponds to the point of coordinates (0.625,0.8125}.

If you look {3013} no longer a real number in base 4 in base 10 corresponds to the number 199 in decimal base.

If you want to have a function to pass basic 4-10 I leave this, it also allows moving from any base to 10 (only applies to database changes 2-10):

Function Cambiaa10(ByVal valor As Double, ByVal a As Integer) As String

'valor: número en base a

'a base del número anterior

ex = Trim(Int(valor)):   la = 0

For i = Len(ex) To 1 Step -1

   lu = Val(Mid(ex, Len(ex) - i + 1, 1))

   la = lu * a ^ (i - 1) + la

Next i

If Len(Trim(valor)) - Len(ex) - 1 >= 0 Then

   ax = Right(Trim(valor), Len(Trim(valor)) - Len(ex) - 1)

   For i = 0 To -(Len(ax)) + 1 Step -1

      lu = Val(Mid(ax, (Len(ax)) + i, 1))

      la = lu * a ^ (i - 1) + la

   Next i

End If

Cambiaa10 = Trim(la)

End Function

De esta manera podemos desde cualquier figura dibujada en un plano redibujarla en una linea (de 2D a 1D). Como ejemplo tomemos este fractal de dimensión entre 1 y 2:

In this way we can from any figure drawn on a redraw on a line (2D to 1D) plane. As an example take this fractal dimension between 1 and 2:

Transponiendo los puntos 2D a 1D, obtenemos:
Transposing 1D 2D points, we obtain ::

Hemos marcado con una línea los puntos transpuestos (es difícil dibujar en una dimensión) con lo que el objeto resultante es un fractal de dimensión entre 0 y 1.

Dada la complejidad del mundo fractal expongo varios

También podemos hacer el caso inverso. Dado un número real, se pasa a base 4 y éste se coloca en el plano:

Para ello nos hace falta una función para el paso de un número de base 10 a otra base:

We have marked with a line transposed points (it is difficult to draw in one dimension) so that the resulting object is a fractal dimension between 0 and 1.

Given the complexity of fractal world expose several

We can also do the reverse case. Given a real number, passed to base 4 and places it on the plane:

To do this we need a function for the passage of a number of base 10 to another base:

Function Cambiade10(ByVal valor As Double, ByVal b As Integer) As String

la = 0

For i = Int(Log(valor) / Log(b) + 1) To -10 Step -1

   lo = b ^ i

   If valor - lo >= 0 Then

   la = Int(valor / lo) * 10 ^ i + la

   valor = valor - Int(valor / lo) * lo

   End If

Next i

Cambiade10 = Trim(la)

End Function

y así un número cualquiera pasará de base 10 a base 4 y de ésta a un punto en el plano. De esta manera hemos encontrado una biyección entre los puntos del plano y de la recta.

Para completar la jugada se nos ha ocurrido ir colocando en plano la serie lineal de números primos (en realidad 1/p) y este es el resultado:

Thus, any number of base 10 will pass to base 4 , and thence to a point in the plane. Thus we have found a bijection between the points of the plane and a line.

To complete the move we have come to be placing flat linear series of prime numbers (actually 1 / p), and this is the result:

Por otra parte esto enlaza con las teorías de Cantor (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor) y prueba que el conjunto RxR sea del mismo tamaño que el de R ya que hay una biyección posible entre ellos.

Obviamente, un espacio de N dimensiones puede igualmente proyectarse en uno de n-1 dimensiones y por lo tanto sucesivamente hata un espacio de 1 sóla dimensión.

Moreover this ties in with theories of Cantor (see http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor) and proves that the set RxR is the same size as that of R as there is a possible bijection between them.

Obviously, a space of N dimensions can also be designed in one of n-1 dimensions and therefore successively until a 1-dimensional.