Dimensión fractal

Siguiendo con la dimensión fractal y definiendo sus coordenadas relativas lo mejor es empezar con un fractal de dimensión conocida, el fractal de Kock.

Following the study of the fractal dimension and defining their relative coordinates is best to start with a known fractal dimension, fractal de Kock

Para saber más, recomiendo ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake

Si se está interesado eh realizar este dibujo os dejo un programa sencillo para realizarlo:

To learn more, I recommend watching: http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake

If you are interested in making this drawing I leave a simple program to do it:

Dim limi As Integer

---

Private Sub Command1_Click()
Picture1.ScaleHeight = 3
Picture1.ScaleWidth = 3
Picture1.Cls

For limi = 0 To 10
  Dibu 0, 1, 3, 1, 0
  SavePicture Picture1.Image, Trim(limi) & ".bmp"
  DoEvents
Next limi
End Sub

---

Sub Dibu(ByVal a As Single, _
         ByVal b As Single, _
         ByVal c As Single, _
         ByVal d As Single, _
         ByVal prof As Integer)

If prof > limi Then DoEvents: Exit Sub
Picture1.Line (a, b)-(c, d), QBColor(prof + 1)
u = (c - a) / 3:v = (d - b) / 3
p = a + u:q = b + v:r = a + u * 2:s = b + v * 2:pr = r / 2 + p / 2
qs = q / 2 + s / 2
uprqs = r - p:vprqs = s - q
u = -vprqs * 0.866025403784439 + pr:v = uprqs * 0.866025403784439 + qs
Dibu a, b, p, q, prof + 1:Dibu p, q, u, v, prof + 1
Dibu u, v, r, s, prof + 1:Dibu r, s, c, d, prof + 1

End Sub

---

De la página web anteriormente mecionada tenemos el valor de la dimensión:

From the above mecionada website have the dimension value:

                                     log 4/log 3 ≈ 1.26186

De las páginas nuestras anteriores podremos definir un punto de la forma:

From our previous pages can define a point of the form:

         OA = {(A₁, A₂, …, A_p), M_A - M_O}

En donde cada valor A será un entero entre 1 y 4 (ó 0 y 3) sin un número real para moverse en el segmento final porque la secuencia anterior es infinita

Where each value to be an integer between 1 and 4 (or 0 and 3) without a real number to move into the final segment, it's because the above sequence is infinite.

En la figura superior: In the upper figure: OA = {(2, 1, 3, 3, ...)}

Cuando se añade un elemento más de la sucesión {0..3} (4 elementos nuevos), se decrementa la longitud en 1/3p. Resulta lógico que la dimensión fractal sea log(elementos nuevos)/log(razón de decremento) = log(4)/log(3) = 1.26186...

When an element of the sequence {0..3} (4 new items) is added, the length is decremented by 

1/3p. It is logical that the fractal dimension is log (new items) / log (ratio decrease) = log (4) / log (3) = 1.26186 ...

En los casos anteriores de las tatispirales / In previous cases of tatispirales:
       OA = {(0 .. ∞, 0 .. ∞, ..., 0 .. ∞_p), 0 ..   max_l_p}. 
   max_l_p = (R₀/4^p)·e^-ksSAi es la longitud del elemento en el último punto de la sucesión del elemento "P". Si . Esto hace más difícil encontrar su dimensión / is the length of the element at the last point of the sequence of "P" element. therefore, it becomes harder to find your size.

2D-1D Bijection / Biyección 1D-1D

Después del estudio de fractales en donde se disponen huecos en el espacio 2D. Nos hemos parado a pensar en como sería una distribución de una serie que llenara el espacio plano.

Para ello vamos a definir un "no fractal" pero de una forma que aparente serlo:

Sea un espacio plano al que dividimos en cuatro partes:

After studying fractals where voids in the 2D space is available. We have stopped thinking about how to be a distribution of a series that fill the flat space.

We are going to define a "no fractal" but in a way that appears to be:

We define a plane space which divided into four parts:

y éstas las numeramos de 0 a 3:
and these, we number from 0 to 3:

A su vez elegimos una de éstas áreas y volvemos a subdividirla internamente, recursivamente:
In turn, we choose one of these areas and return to subdivide internally recursively:

Si el ancho de la celda principal es 1, a la sucesión recursiva del dibujo { 3,0,1,3 } le corresponde el punto de coordenadas (0.625,0.8125}. 

Si nos fijamos {3013} no deja de ser un número real en base 4 que en base 10 corresponde al número 199 en base decimal.

Si se quiere tener una función para pasar de base 4 a 10 os dejo esta, que ademas permite pasar de cualquier base a 10 (sólo vale para cambios de base de 2 a 10):

If the width of the main cell is 1, the recursive sequence {3,0,1,3} drawing corresponds to the point of coordinates (0.625,0.8125}.

If you look {3013} no longer a real number in base 4 in base 10 corresponds to the number 199 in decimal base.

If you want to have a function to pass basic 4-10 I leave this, it also allows moving from any base to 10 (only applies to database changes 2-10):

Function Cambiaa10(ByVal valor As Double, ByVal a As Integer) As String

'valor: número en base a

'a base del número anterior

ex = Trim(Int(valor)):   la = 0

For i = Len(ex) To 1 Step -1

   lu = Val(Mid(ex, Len(ex) - i + 1, 1))

   la = lu * a ^ (i - 1) + la

Next i

If Len(Trim(valor)) - Len(ex) - 1 >= 0 Then

   ax = Right(Trim(valor), Len(Trim(valor)) - Len(ex) - 1)

   For i = 0 To -(Len(ax)) + 1 Step -1

      lu = Val(Mid(ax, (Len(ax)) + i, 1))

      la = lu * a ^ (i - 1) + la

   Next i

End If

Cambiaa10 = Trim(la)

End Function

De esta manera podemos desde cualquier figura dibujada en un plano redibujarla en una linea (de 2D a 1D). Como ejemplo tomemos este fractal de dimensión entre 1 y 2:

In this way we can from any figure drawn on a redraw on a line (2D to 1D) plane. As an example take this fractal dimension between 1 and 2:

Transponiendo los puntos 2D a 1D, obtenemos:
Transposing 1D 2D points, we obtain ::

Hemos marcado con una línea los puntos transpuestos (es difícil dibujar en una dimensión) con lo que el objeto resultante es un fractal de dimensión entre 0 y 1.

Dada la complejidad del mundo fractal expongo varios

También podemos hacer el caso inverso. Dado un número real, se pasa a base 4 y éste se coloca en el plano:

Para ello nos hace falta una función para el paso de un número de base 10 a otra base:

We have marked with a line transposed points (it is difficult to draw in one dimension) so that the resulting object is a fractal dimension between 0 and 1.

Given the complexity of fractal world expose several

We can also do the reverse case. Given a real number, passed to base 4 and places it on the plane:

To do this we need a function for the passage of a number of base 10 to another base:

Function Cambiade10(ByVal valor As Double, ByVal b As Integer) As String

la = 0

For i = Int(Log(valor) / Log(b) + 1) To -10 Step -1

   lo = b ^ i

   If valor - lo >= 0 Then

   la = Int(valor / lo) * 10 ^ i + la

   valor = valor - Int(valor / lo) * lo

   End If

Next i

Cambiade10 = Trim(la)

End Function

y así un número cualquiera pasará de base 10 a base 4 y de ésta a un punto en el plano. De esta manera hemos encontrado una biyección entre los puntos del plano y de la recta.

Para completar la jugada se nos ha ocurrido ir colocando en plano la serie lineal de números primos (en realidad 1/p) y este es el resultado:

Thus, any number of base 10 will pass to base 4 , and thence to a point in the plane. Thus we have found a bijection between the points of the plane and a line.

To complete the move we have come to be placing flat linear series of prime numbers (actually 1 / p), and this is the result:

Por otra parte esto enlaza con las teorías de Cantor (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor) y prueba que el conjunto RxR sea del mismo tamaño que el de R ya que hay una biyección posible entre ellos.

Obviamente, un espacio de N dimensiones puede igualmente proyectarse en uno de n-1 dimensiones y por lo tanto sucesivamente hata un espacio de 1 sóla dimensión.

Moreover this ties in with theories of Cantor (see http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor) and proves that the set RxR is the same size as that of R as there is a possible bijection between them.

Obviously, a space of N dimensions can also be designed in one of n-1 dimensions and therefore successively until a 1-dimensional.

Coordinates and operations in fractals systems II / Coordenadas y operaciones en sistemas fractales II

Diagrama fractal / Fractal diagram

Suele ser muy difícil "ver" unas coordinadas fractales y, sobre todo operar con ellas porque estas coordenadas no se entienden bien. Por ello se nos ha ocurrido realizar un esquema para visualizarlas:

It is usually very difficult "to see" a fractal coordinated and above all operate with them because these coordinates are not well understood. Therefore we have come to us to make a scheme for display:

Explicación: para llegar al Punto A, partimos desde el Origen. Éste no tiene porqué estar en una bifurcación, en la imagen superior le hemos colocado a - 8.597 uds de la 1ª bifurcación (M_O). Luego seguimos la ruta, pasando por los nudos 6, 4, 3, y 3. Después recorre 1.569 uds (M_A) de la última espiral (en caso de las espirales estudiadas con anterioridad). (8.597 + 1.569 = 10.166; M_O + M_A) Así pues, el Punto A es: {(6, 4, 3, 3); 10,166}. Para el Punto B: el {(4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502}.

Explanation: to reach the point A, we start from the origin. This does not have to be at a bifurcation in the picture above we will have placed - 8,597 units of the 1st bifurcation (M_O). Then we follow the route through the nodes 6, 4, 3, and 3. After walking 1,569 units (M_A) of the last spiral (in case of spirals studied previously). (8,597 + 1,569 = 10,166; M_O + M_A) Thus, the point A is: {(6, 4, 3, 3); 10,166}. Point B is {(4, 6, 2, 0, 1, 2); 11,502}.

Forma general: General form : OA = {(A₁, A₂, …, A_p), M_A - M_O}

Distancias relativas, vectores. / Relative distances. Vectors.

La nueva dificultad radica en cambiar el origen y/o obtener coordenadas relativas. Es decir ¿Cual es la coordenada de O y de B respecto a A. La solución, es emplear números negativos, -1 significará retroceder hasta la bifurcación inmediata anterior; -2, retroceder hasta 2 bifurcaciones y así sucesivamente. De esta manera O(respecto a A) sería el  {(-4); 10.166} y B (respecto a A) sería el {(-4, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 4.474}.

The new challenge is to change the source and / or to obtain relative coordinates. Ie What is the coordinate of O, and B to A. The solution is to use negative numbers, -1 means back to the previous immediate bifurcation; -2, Back to 2 forks and so on. Thus O (relative to A) would be {(-4); 10166} and B (with respect to A) would be {(-4, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 4,474}

Estas serían todas las coordenadas: / These would all coordinates:

OA = {(6, 4, 3, 3); 10,166}

OB = {(4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502}

Para la realización tenemos dos posibilidades:
For the realization we have two possibilities:

1. La más breve consiste en que los números negativos indiquen retroceder el número de nodos superiores anteriores. The short is that negative numbers indicate the number of previous back top nodes.

              AO = {(-4); -10.166}

              BO = {(-6); -11.502}
              OA = {(-p), -(M_A + M_O)}
         Este sistema tiene el impedimento de no tener memoria del movimiento realizado.
         This system has a fault, it has no memory of the movement performed.

2. La otra posibilidad es la de ir restando en sucesión todos los pasos a nodos anteriores, se separan los superiores: The other possibility is to go subtracting in succession all the steps above nodes. separate upper

              AO =  {(-3, -3, -4, -6); -10.166}

              BO =  {(-2, -1, 0, -2, -6, -4); -11.502}
              AO =  {(-A_p, -Ap-1, …, -A₁), -( M_A - M_O )}
         Este sistema tiene memoria pero es más largo
         This system has memory but longer

De igual manera para poder definir los vectores relativos entre dos puntos se podría pensar en los dos puntos de vista:
Similarly to define the vectors relative between two points could think of two views:

1. La más breve / The shorter

AB = {(-4, 4, 6, 2, 0, 1, 2); -1,336}

BA = {(-6, 6, 4, 3, 3); 1,336}

AB = {(-p, B₁, B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )}
BA = {(-q, A₁, A₂, …, A_p), ( M_A - M_B )}

2. La más completa y con memoria / The most comprehensive and with memory

AB = {(-2, -1, 0, -2, -6, -4, 6, 2, 4, 3, 3); -1,336}

BA = {(-3, -3, -4, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 1,336}

AB = {(-A_p, -Ap-1, …, -A₁, B₁, B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )}
BA = {(-B_q, -Bq-1, …, -B₁ , A₁, A₂, …, A_p), ( M_A - M_B )}

Suma de vectores: / Vector Addition:

OA + OB = {(A₁, A₂, …, A_p, B₁, B₂, …, B_q), M_A + M_B + 2·M_O}
OA + AB = {(A₁, A₂, …, A_p, -A_p, -Ap-1, …, -A₁, B₁), B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )}

Sistema de reducción de opuestos: Reduction system of opposite values:

OA + AB = {(A₁, A₂, …, A_p, -A_p, -Ap-1, …, -A₁, B₁, B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )}

OA + AB = {(A₁, A₂, …,            , -Ap-1, …, -A₁, B₁, B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )}

Subsiguientemente: / subsequently:

OA + AB = {(B₁, B₂, …, B_q), ( M_B - M_A )} = AB

Ejemplo: Example

  OA = {(6, 4, 3, 3); 10,166}

  AB = {(-3, -3, -4, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2); -1,336}

  OA + AB = {(6, 4, 3, 3,-3, -3, -4, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2);11.502}
  OA + AB = {(6, 4, 3,  -3, -4, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502}
  OA + AB = {(6, 4,  -4, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502} 
  OA + AB = {(6, -6, 4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502}
  OA + AB = {(4, 6, 2, 0, 1, 2); 11.502}= OB

c.q.d. / as was shown

Coordinates in fractals systems II / Coordenadas en sistemas fractales II

Introducción y definiciones / Introduction and Definitions

Como ya se viera en: Coordinates in fractals systems I / Coordenadas en sistemas fractales I. Para poder definir un punto en coordenadas relativas en nuestro fractal se podrían disponer de la siguiente manera:

As you saw in: Coordinates in fractals systems I / Coordenadas en sistemas fractales I. The definition of a point in our fractal relative coordinates could be as follows:

 {(A₁, A₂, …, A_n), M} con A_i Î  y M e Î 

El grado de precisión se definía por el valor e, La sucesión tenía un máximo que le limitaba este valor de e₁ y M quedaba limitado a M ± e₂. 

The degree of accuracy is defined by the value e, The sequence had a maximum which limited the value of e₁ and M was limited to M ± e₂.

En el artículo anterior, hemos estudiado los casos en que,

In the previous article, we studied cases where,

• [e₁ = e, e₂ no importa] El estar en una espiral máxima hace que M sea irrelevante. Being in a high spiral makes M irrelevant.

                          {(A₁, A₂, …, A_n), _ } con A_i Î   y e Î ,

                                            n = f(e) = ( log(R₀) - log(e) ) / log(4)

• [e₁ = no importa, e₂ = e] El hacer el recorrido máximo por la espiral 0 hace que la sucesión A_n sea irrelevante. n = f(e). The maximum journey through the spiral 0 makes the succession An irrelevant. n = f (e).

                          { 0 , M ± e } M, e Î  

Lo difícil será ahora ver la relación entre  n, e, R₀, e₁, y e₂.
The challenge will now see the relationship between n, e, R0, e1, and e2.

Un ejemplo. An example.

Es más fácil verlo desde un ejemplo:

Sea la función semilla:

       r = R₀e^(-ka⁾ = 1000 · e ^(-a/10)

       cada múltiplo de p/5 se crea otra rama con r_n=r(a)/4

Se define la posición: {(5, 4, 12, 0 ,9), 12.259} ¿Qué precisión tiene?

El primer valor 5, nos va a indicar que está en la quinta bifurcación de r se pasa a 1000 · exp(-(p/5*5) / 10 ) = 730.403 al entrar r pasa a r*1/4, 182.601; luego se desplaza hasta la cuarta bifurcación, 182.601*exp(-(p/5*4)/10) = 142.021; al entrar r pasa a r*1/4, 35.505; luego se desplaza hasta la duodécima bifurcación, 35.505*exp(-(p/5*12)/10) = 16.7048;al entrar r pasa a r*1/4, 4.1762; luego no se desplaza (valor 0); al entrar r pasa a r*1/4, 1.04405; luego se desplaza hasta la novena, 1.04405*exp(-(p/5*9)/10) = 0.5931; 

En este momento la precisión de la sucesión es 0.5931 (e₁). LA precisión del segundo al estar en notación decimal será de ± 0.1, ya que 0.1 < 0.5931. (luego e = e₂ si e < e₁)

    {(5, 4, 12, 0 ,9), 12.259 ± 0.1}, con e= 0.1 en longitudes

Si lo quisiéramos con respecto al ángulo, en vez de a la longitud tendríamos que ver que el recorrido es de 12.259 ± 0.1 unidades.  Con la función r = R₀e^{(-ka) l}la longitud sería = -R₀/k·e^(-ka) + R₀/k = 12.259, es decir, 0.5931/10·e^(-a/10) – 0.5931 / 10 = 12.259 de donde a = 53.26413radianes. Con 12.259 +1, a = 53.2649 radianes y con 12.259 -1, a = 53.2633 radianes.

    {(5, 4, 12, 0 ,9), 53.2641 ± 0.0008}, con e= 0.0008 en radianes

Para este cálculo y dibujo se ha utilizado esta subrutina:
For this calculation and drawing this subroutine has been used:

Sub Rama(ByVal R As Double, ByVal x0 As Double, ByVal y0 As Double, ByVal a As Double, ByVal s As Double, ByVal ite As Integer)

If R < 5 Then Exit Sub ' Para evitar error de pila
col = QBColor(10 + ite)
R0 = R: ss = s + a

For i = a To 100 Step 0.01
  r1 = R0 * Exp(-i / 10)
  x = r1 * Cos(i) + x0
  y = r1 * Sin(i) + y0
  If i > ss Then 
         ' Iteración
         Rama R0/4, x-r1/4*Cos(i), y-r1/4*Sin(i), i, s, ite + 1
         ss = ss + s
  end if

  Picture1.PSet (x, y), col
  If r1 < 1 Then Exit Sub
Next i

End Sub

Coordinates in fractals systems / Coordenadas en sistemas fractales

Previo: Situando un punto relativo en una recta:/ Previous: Placing a relative point on a line:

Nos parece muy claro cómo definir un punto situado en una recta. El sistema es sencillo. Se elige un punto al que se denominará origen Y una dirección como positiva. En este entorno se le hace corresponder un punto con la distancia al origen. A ésta distancia se le dará un signo dependiendo del sentido con la dirección prefijada. Es obvio:

It seems very clear how to define a point on a line. The system is simple. A point is chosen. It is called the origin and a direction as positive. In this environment is made to correspond a point with distance from the origin. At this distance will be given a sign depending on the direction to the given address. It is obvious:

Basta con decir: 2.156 y ya hemos situado el punto en la recta:
It is suficente to say: 2.156 and have already placed the point on the line:

Previo: Situando un punto relativo en un plano: / Previous: Placing a relative point on a plane:

De igual manera, colocamos un punto como origen dos direcciones no coincidente y la pareja distancias que sigan estas direcciones será la definición del punto:

Similarly, as we place a point source, and two different directions. The two distances to follow these directions will define the point:

El punto sería el P (2.156, 3.987) con ese origen y ejes.
The point would be P (2.156, 3.987) with the origin and axes.

Definición de la posición relativa de un punto en un fractal: / Definition of the relative position of a point in a fractal:

A priori, esto no parece tan sencillo:
A priori, it does not seem so simple:

¿Cómo especificamos un punto es esta forma? Si la dimensión de este fractal estará entre 1 (son líneas) y 2 (se desarrolla en un plano)  ¿Cómo sitúo un punto con sólo 1 ó 2 números reales?

How to specify a point is this way? If the dimension of this fractal be between 1 (are lines) and 2 (developed in a plane). How do I place a point with only 1 or 2 real numbers?

¿Puedo definir un punto como origen? Esta parte es fácil. Basta con coger cualquiera.

¿Qué debe(n) significar el(los) número(s) que le acompañen?

Can I define a point as the origin? This part is easy. Just take any.
What should mean number(s) that will accompany it?

1ª Abstracción: Conversión de un número real una sucesión de números enteros. / 1st Abstraction: Conversion of a real number a sequence of integers.

Siguiendo el primer ejemplo, el Punto P se define como el situado a 2.156860214... unidades del origen. También se podría decir que el número es el definido por la sucesión entera {2, 5, 6, 8, 6, 0, 2, 1, 4, ...} en clave decimal. (para 20.345... correspondería la sucesión: {20, 3, 4, 5, ...})

Para 2D la sucesión para P(2.156..., 3.987...) sería ({2, 1, 5, 6,...}, {3, 9, 8, 7,...}) (en clave decimal)

Si partimos de nuestro fractal:

Following the first example, the point P is defined as. the located 2.156860214 ... units from the origin. One could also say that the number is defined by the entire sequence {2, 5, 6, 8, 6, 0, 2, 1, 4, ...} in decimal code. (20,345 ... correspond to the sequence: {20, 3, 4, 5, ...})

For 2D, the sequence of P (2156 ... 3987 ...) would be ({2, 1, 5, 6, ...}, {3, 9, 8, 7, ...}) (in decimal code)

If we start our fractal:

Partiendo del origen, tenemos que retroceder una espiral (-1) , Avanzar 12, entrar y avanzar 1, y en esa línea moveros 0.2753... unidades (por ejemplo).
Las coordenadas PF serán {(-1, 12, 1, 0[ ...]) (0, 2, 7, 5, 3, ...)}

Starting from the origin, we must go back a spiral (-1), Advance 12 to enter and advance 1 and in that vein, we move 0.2753 ... units (for example).
PF will be the coordinates {(-1, 12, 1, 0[...]) (0, 2, 7, 5, 3, ...)}

Nota:  0[ ...] significa: sucesión infinita de ceros.
Note: 0[...] means infinite sequence of zeros.

La diferencia fundamental con un punto definido en un plano es que los valores de P, 2.156... y 3.987..., son igualmente importantes. En cambio, para P(fractal) la primera sucesión (-1, 12, 1) hace que cuanto más larga sea menos importa la precisión del segundo factor real, (0.2753). Es decir, en un plano si se desea tener una precisión (o error máximo de e) podremos poner 1, 2, ... ó 27 decimales si e = 10^-27. Pero en el caso de PFractal nos pueden ocurrir dos cosas:

• Si tenemos un número suficientemente elevado de elementos de la primera sucesión sea por ejemplo:  (2, 8, 5, 6, 7, 3, 5, 4, 68, 54, 2, 10, 9) el valor real puede, hasta llegar a ser incluso innecesario.

• Al contrario, ante un número muy corto en la sucesión primaria (2, 8) haría falta un valor de la parte real muy precisa para llegar a la misma precisión que en el caso anterior.

The fundamental difference with a defined point in a plane is that P values (2.156 ... 3.987 ...) are equally important. However, for P (fractal) the first sequence (-1, 12, 1) makes the longer it is, the less important the precision of the second real factor (0.2753). That is, in a plane if you want to be accurate (or maximum error e) we can put 1, 2, ... or 27 decimal places (if e = 10^-27). But if PFractal two things can happen:

• If we have a sufficiently large number of elements in the first sequence. eg (2, 8, 5, 6, 7, 3, 5, 4, 68, 54, 2, 10, 9), the actual value can, to become even unnecessary.

• Conversely, when a very small number in the primary sequence, eg (2, 8) would take a value of the real part very accurate to reach the same precision as in the previous case.

¿cómo sabemos calcular precisiones idénticas? ¿Qué se extrae de todo esto? / How do we calculate identical accuracies? What is extracted from all this?

Para amenizar el momento os pongo un vídeo:
To entertain I put a video:

Otherwise:

2º  Trabajo, realizar un programa que trabaje para nosotros: / 2nd abor, make a program that works for us:

Para hacer este fractal hemos utilizado VB, con esta subrutina:
To make this fractalwe have used VB with this subroutine:

Sub PINTA(ByVal XI As Double, ByVal YI As Double, _
          ByVal RI As Double, ByVal ANGINI As Double, _
          ByVal FONDO As Integer)
lim = 10

'Si nos salimos de los límites del dibujo
If FONDO > 0 Then If XI < -2000 Or YI < -2000 Or XI > Picture1.ScaleWidth + 2000 Or YI > Picture1.ScaleHeight + 2000 Then Exit Sub

'Definiciaón de la penetración máxima
If FONDO > lim Then Exit Sub


If FONDO > 5 Then QBColor (FONDO - 4) Else colo = QBColor(FONDO + 10)

'Establecimiento de los valores iniciales
A = 0: r = RI: Y = YI: X = XI: X1 = X: Y1 = Y: RESTO = 0: i = 0
Do
  X = X + r * Cos(i + ANGINI): Y = Y + r * Sin(i + ANGINI)
  Picture1.Line (X, Y)-(X1, Y1), colo
  If i >= RESTO Then
    RESTO = RESTO + 0.6
    PINTA X, Y, r / 4, i + ANGINI + 0.05, FONDO + 1 
  End If
  X1 = X: Y1 = Y: i = i + 0.1: r = r * 0.99
Loop Until r < 2
End Sub

En nuestro formulario de VB hemos añadido un objeto Picture (llamado Picture1) para que funcione. 

La orden inicial es PINTA , X0, Y0, R0, 0 ' R0=660, espiral inicial

In our VB form we have added a Picture object to work (called Picture1).
The initial order is PINTA, X0, Y0, R0, 0 ' R0=660,  inicial value)

3º  Precisiones extremas / extreme accuracies

En la solución de las coordenadas prevista:
In the solution of the provided coordinates:

                       {(A₁, A₂, …, A_n), M ± e} con A_i Î  y M Î 
                       Se buscará la relación entre n y e.
                       The relationship between n and e is searched.

Cuando existe una bifurcación, hay dos posibilidades:
When a bifurcation there are two possibilities:

1. Continuar por la espiral en la que estamos, o,
2. Entrar en una nueva espiral por el extremo inicial de ésta.

1. Continue along the spiral in which we are, or,
2. Enter into a new spiral from the starting end of it.

Si continuamos por la espiral por la que hemos empezado, no haremos nada más difícil que recorrer una "recta enrrollada" luego para una e = 10^-5  tendremos la íltima precisión en el decimal 5.

If we continue along the spiral for which we have begun, we will do nothing more difficult to travel a "curve-straight" then for e = 10^-5 have the íltima fifth decimal accuracy.

       -> Precisión 1  = log(e )/log(10)

El otro extremo es rentrar en una espiral, y otra, y otra... y así sucesivamente. Cada vez que se hace eso, el radio se reduce a la cuarta parte, y así sucesivamente cada vez que penetramos en una nueva espiral. En "n" veces seguidas: : e = R₀/4ⁿ . Si despejamos n: n =  Int[ log(R₀) - log(e) ] / log(4). Ya tenemos la relación buscada:

The other possibility is to go into a spiral, and within another, and within another ... and so on. Every time you do that, the radius is reduced to a quarter, and so on every time we enter a new spiral. In "n" times in succession: e = R₀/4ⁿ. Solving for n: n =  Int[ log(R₀) - log(e) ] / log(4). We already have the required relation:

       -> Precisión 2 = Int[ log(R₀) - log(e) ] / log(4)

Tabla con varios valores de  e: (R₀ = 660, valor inicial)
Table with several values of  e: (R₀ = 660, inital value)

     Dado e   → espiral n máxima    , nº decimales máximos

           1 → 4.68316110 » 5      ,        1

         0.1 → 6.34412515 » 7      ,        2

        0.01 → 8.00508920 » 9      ,        3

       0.001 → 9.66605325 » 10 (*) ,        4

      0.0001 → 11.3270173 » 12 (*) ,        5

     0.00001 → 12.9879813 » 13 (*) ,        6

    0.000001 → 14.6489453 » 15 (*) ,        7

   0.0000001 → 16.3099094 » 17 (*) ,        8

                  e → 

   Int(-1,661*log(e)/log(10) + 4,6832),    log(e)/log(10)

Cada vez tiene menos importancia el valor inicial de R₀ frente al valor creciente de log (e).

 (*) Ojo: hay dos dígitos, lo cual hace ver que se necesita uno más.

Gradually becoming a less significance the initial value of R₀ against the rising value of log (e).

  (*) Caution: there are two digits, which makes it look that is needed one more.

     Dado e   → espiral n máxima    , nº decimales máximos

           1 →              5      ,        1

         0.1 →              7      ,    2

        0.01 →              9      ,        3

       0.001 →             11      ,        4

      0.0001 →             13      ,        5

     0.00001 →             14      ,        6

    0.000001 →             16      ,        7

   0.0000001 →             18      ,        8

-1,661*log(e)/log(10) + 4,6832 + log(-1,661*log(e)/log(10) + 4,6832)/log(10)

4º  Comparación con el plano / Comparison with a plane

Si pudiéramos comparar este sistema de coordenadas relativo de forma coherente con el sistema de coordenadas relativo a un plano y/o recta, estaríamos más cerca de poder definir la dimensión fractal.

If we could compare the relative coordinate system in coherence with the coordinate system on a plane and / or a line, we would be closer to define the fractal dimension.

Próximamente su conclusión.
Coming soon its completion.